Getaran Sebuah Massa pada Pegas (Aplikasi Perdif)

1. Masalah Dasar

Sebuah pegas koil digantung secara vertikal dari sebuah titik tetap pada langit-langit, balok, atau benda sejenis lainnya. Sebuah massa dilekatkan pada ujung bawahnya dan dibiarkan diam dalam posisi setimbang. Sistem kemudian digerakkan dengan salah satu cara:

(1) dengan menarik massa ke bawah sejauh jarak di bawah posisi setimbangnya (atau mendorongnya ke atas sejauh jarak di atasnya) dan kemudian melepaskannya dengan kecepatan awal (nol atau tidak nol, ke bawah atau ke atas) pada t = 0; atau 

(2) dengan memaksa massa keluar dari posisi setimbangnya dengan memberinya kecepatan awal yang tidak nol (ke bawah atau ke atas) pada t = 0. 

Masalah kita adalah menentukan gerak resultan massa pada pegas. Untuk melakukan ini, kita juga harus mempertimbangkan fenomena lain tertentu yang mungkin ada. Sebagai contoh, dengan asumsi sistem berada dalam semacam medium (misalnya udara "biasa" atau mungkin air), medium ini menghasilkan gaya resistansi yang cenderung memperlambat gerak. Juga, gaya eksternal tertentu mungkin ada. Sebagai contoh, gaya magnetik dari luar sistem mungkin bekerja pada massa.

Mari kita coba tentukan gerak massa pada pegas, dengan mempertimbangkan resistansi medium dan kemungkinan gaya eksternal. Kita akan melakukan ini dengan terlebih dahulu mendapatkan dan kemudian menyelesaikan persamaan diferensial untuk gerak. Untuk menyusun persamaan diferensial untuk masalah ini, kita akan membutuhkan dua hukum fisika: hukum kedua Newton dan hukum Hooke.

2. Hukum Kedua Newton

Hukum kedua Newton berbunyi: "Laju perubahan momentum suatu benda sebanding dengan gaya resultan yang bekerja pada benda dan berada dalam arah gaya resultan ini."

Dalam bahasa matematis, hukum ini menyatakan bahwa

di mana m adalah massa benda, v adalah kecepatannya, F adalah gaya resultan yang bekerja padanya, dan K adalah konstanta proporsionalitas. Jika massa m dianggap konstan, ini direduksi menjadi

atau

F = kma,

di mana k = ¹⁄ₖ dan a = dv/dt adalah percepatan dari benda. Bentuk a = KF/m adalah pernyataan matematis langsung dari cara Hukum Kedua Newton biasanya diekspresikan dalam kata-kata, di mana massa dianggap konstan. Namun, kita akan menggunakan bentuk setara F = kma. Besarnya konstanta proporsionalitas k bergantung pada sistem satuan yang digunakan untuk gaya, massa, dan percepatan. Tentu saja sistem satuan yang paling jelas adalah yang mana k = 1. Ketika sistem seperti itu digunakan, F = kma direduksi menjadi

F = ma.

Dalam bentuk inilah kita akan menggunakan Hukum Kedua Newton. Perhatikan bahwa Persamaan F = ma adalah kuantitas vektor.

Ingatlah bahwa gaya tarik gravitasi yang diberikan bumi pada sebuah benda disebut berat benda. Berat, sebagai gaya, dinyatakan dalam satuan gaya. Jadi dalam sistem Inggris berat diukur dalam pound; dalam sistem cgs, dalam dyne; dan dalam sistem mks, dalam newton.

Sekarang mari kita terapkan Hukum Kedua Newton pada benda yang jatuh bebas (benda yang jatuh ke arah bumi tanpa hambatan udara). Biarkan massa benda menjadi m dan biarkan w menunjukkan beratnya. Satu-satunya gaya yang bekerja pada benda adalah beratnya dan ini adalah gaya resultan. Percepatan itu disebabkan oleh gravitasi, yang dilambangkan dengan g, yang kira-kira 32 ft/s² dalam sistem Inggris; 980 cm/detik² dalam sistem cgs; dan 9,8 m/detik² dalam sistem mks (untuk titik-titik di dekat permukaan bumi). Berikut ini tabel satuan yang digunakan untuk masing-masing sistem

	British System	cgs System	mks System
force	pound	dyne	newton
mass	slug	gram	kilogram
distance	foot	centimeter	meter
time	second	second	second
acceleration	ft/s²	cm/s²	m/s²

Hukum Kedua Newton F = ma dengan demikian direduksi menjadi w = mg. Jadi

m = w/g,

sebuah hubungan yang akan sering kita gunakan.

Sekarang mari kita tinjau sebuah benda B dalam gerak lurus (rectilinear motion), yaitu, dalam gerak di sepanjang garis lurus L. Pada L kita memilih titik referensi tetap sebagai asal O, arah tetap sebagai arah positif, dan satuan jarak. Kemudian koordinat x dari posisi benda B dari asal O memberi tahu kita jarak atau perpindahan B. Kecepatan sesaat dari B adalah laju perubahan x:

v = dx/dt,

dan percepatan sesaat dari B adalah laju perubahan dari v:

Perhatikan bahwa x, v, dan a adalah kuantitas vektor. Semua gaya, perpindahan, kecepatan, dan percepatan dalam arah positif pada L adalah kuantitas positif; sedangkan yang dalam arah negatif adalah kuantitas negatif.

Jika kita sekarang menerapkan Hukum Kedua Newton F = ma pada gerakan B sepanjang L, perhatikan bahwa

kita dapat mengekspresikan hukum tersebut dalam salah satu dari tiga bentuk berikut:

di mana F adalah gaya resultan yang bekerja pada benda. Bentuk yang akan digunakan tergantung pada cara F diekspresikan. Sebagai contoh, jika F adalah fungsi dari waktu t saja dan kita ingin mendapatkan kecepatan v sebagai fungsi dari t, kita akan menggunakan

sedangkan jika F diekspresikan sebagai fungsi dari perpindahan x dan kita ingin menemukan v sebagai fungsi dari x, kita akan menggunakan

3. Hukum Hooke

Besarnya gaya yang dibutuhkan untuk menghasilkan perpanjangan tertentu dari sebuah pegas berbanding lurus dengan besarnya perpanjangan ini, asalkan perpanjangan ini tidak terlalu besar. 

Dalam bentuk matematis,

|F| = ks,

di mana F adalah besarnya gaya pada pegas, s adalah jumlah perpanjangan, dan k adalah konstanta perbandingan yang kita sebut konstanta pegas.

Konstanta pegas k bergantung pada pegas yang dipertimbangkan dan merupakan ukuran kekakuannya. Misalnya, jika pegas 30-lb meregang 2 ft, maka hukum Hooke memberikan 30 = (k)(2); jadi untuk pegas ini k = 15 lb/ft.

Ketika sebuah massa digantung pada pegas dengan konstanta pegas k dan menghasilkan perpanjangan s, gaya F dari massa pada pegas karenanya memiliki besaran ks. Pegas pada saat yang sama mengerahkan gaya pada massa yang disebut gaya pemulih pegas. Gaya ini sama dalam besaran tetapi berlawanan tanda dengan F dan memiliki besaran −ks.

Mari kita formulasikan masalahnya secara sistematis. Biarkan pegas koil memiliki panjang alami (tidak diregangkan) L. Massa m dilekatkan pada ujung bawahnya dan dibiarkan diam dalam posisi setimbang, dengan demikian meregangkan pegas sejauh l sehingga panjangnya yang diregangkan adalah L + l. Kita memilih sumbu di sepanjang pegas, dengan titik asal O pada posisi setimbang dan arah positif ke bawah. Jadi, membiarkan x menunjukkan perpindahan massa dari O di sepanjang garis ini, kita melihat bahwa x positif, nol, atau negatif tergantung pada apakah massa berada di bawah, pada, atau di atas posisi setimbangnya.

4. Gaya yang Bekerja pada Massa

Sekarang kita akan menjabarkan berbagai gaya yang bekerja pada massa. Gaya yang cenderung menarik massa ke bawah adalah positif, sementara yang cenderung menariknya ke atas adalah negatif. Gaya-gayanya adalah:

A. F₁, gaya gravitasi, dengan besaran mg, di mana g adalah percepatan gravitasi. Karena ini bekerja dalam arah ke bawah, itu positif, jadi

F₁ = mg.

B. F₂, gaya pemulih pegas. Karena x + l adalah jumlah total perpanjangan, menurut hukum Hooke besaran gaya ini adalah k(x + l). Ketika massa berada di bawah ujung pegas yang tidak diregangkan, gaya ini bekerja dalam arah ke atas dan karenanya negatif. Juga, untuk massa dalam posisi seperti itu, x + l positif. Jadi, ketika massa berada di bawah ujung pegas yang tidak diregangkan, gaya pemulih diberikan oleh

F₂ = −k(x + l).

Ini juga memberikan gaya pemulih ketika massa berada di atas ujung pegas yang tidak diregangkan, seperti yang dapat dilihat dengan mengganti setiap kata yang dimiringkan dalam tiga kalimat sebelumnya dengan kebalikannya. Ketika massa berada dalam posisi diam pada posisi setimbangnya, gaya pemulih F₂ sama dalam besaran tetapi berlawanan arah dengan gaya gravitasi dan karenanya diberikan oleh −mg. Karena dalam posisi ini x = 0, Persamaan F₂ = −k(x + l) memberikan

−mg = −k(0 + l)

atau

mg = kl.

Mengganti kl dengan mg dalam Persamaan F₂ = −k(x + l) kita melihat bahwa gaya pemulih dengan demikian dapat ditulis sebagai

F₂ = −kx − mg.

C. F₃, gaya resistansi medium, disebut gaya redaman (damping force). Meskipun besaran gaya ini tidak diketahui secara pasti, diketahui bahwa untuk kecepatan kecil itu kira-kira sebanding dengan besaran kecepatan:

di mana a > 0 disebut konstanta redaman. Ketika massa bergerak ke bawah, F₃ bekerja dalam arah ke atas (berlawanan dengan arah gerak) dan karenanya F₃ < 0. Juga, karena m bergerak ke bawah, x meningkat dan dx/dt positif. Jadi, dengan asumsi Persamaan |F₃| = a|dx/dt| berlaku, ketika massa bergerak ke bawah, gaya redaman diberikan oleh

Ini juga memberikan gaya redaman ketika massa bergerak ke atas, seperti yang dapat dilihat dengan mengganti setiap kata yang dimiringkan dalam tiga kalimat sebelumnya dengan kebalikannya.

D. F₄, setiap gaya eksternal yang bekerja pada massa. Mari kita sebut resultan dari semua gaya eksternal tersebut pada waktu t sebagai F(t) dan tulis

F₄ = F(t).

Sekarang kita terapkan hukum kedua Newton, F = ma, di mana F = F₁ + F₂ + F₃ + F₄. Menggunakan rumus-rumus sebelumnya, kita temukan

atau

Ini kita ambil sebagai persamaan diferensial untuk gerak massa pada pegas. Perhatikan bahwa ini adalah persamaan diferensial linier orde-dua nonhomogen dengan koefisien konstan. Jika a = 0 geraknya disebut undamped (tak teredam); jika tidak, itu disebut damped (teredam). Jika tidak ada gaya eksternal, F(t) = 0 untuk semua t dan geraknya disebut free (bebas); jika tidak, itu disebut forced (paksa).

Mempertimbangkan ini, kita bagi tiga kasus berikut:

• Gerak bebas tak teredam (Free Undamped Motion)

• Gerak bebas teredam (Free Damped Motion)

• Gerak paksa (Forced Motion)