Limit Satu Sisi dan Limit Tak Hingga

1. Limit Satu Sisi

A. Definisi Limit Kanan dan Limit Kiri

Misalkan A ⊂ ℝ dan misalkan f: A → ℝ.

(i) Jika c ∈ ℝ adalah titik limit dari himpunan A ∩ (c, ∞) = {x ∈ A: x > c}, maka kita katakan bahwa L ∈ ℝ adalah limit kanan dari f pada c dan kita tulis

jika diberikan sembarang ε > 0 ada δ = δ(ε) > 0 sehingga untuk semua x ∈ A dengan 0 < x – c < δ, maka |f(x) – L| < ε. Disimbolkan:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < x – c < δ ⇒ |f(x) – L| < ε

(ii) Jika c ∈ ℝ adalah titik limit dari himpunan A ∩ (−∞, c) = {x ∈ A: x < c}, maka kita katakan bahwa L ∈ ℝ adalah limit kiri dari f pada c dan kita tulis

jika diberikan sembarang ε > 0 ada δ > 0 sehingga untuk semua x ∈ A dengan 0 < c – x < δ, maka |f(x) – L| < ε. Disimbolkan:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < c – x < δ ⇒ |f(x) – L| < ε

Catatan

• Limit kanan dan limit kiri disebut limit satu sisi dari f pada c. Ada kemungkinan bahwa tidak satu pun dari limit satu sisi tersebut ada. Selain itu, salah satunya mungkin ada tanpa yang lain. Demikian pula, seperti pada kasus f(x) = sgn(x) pada c = 0, keduanya mungkin ada dan berbeda.

• Jika A adalah interval dengan titik ujung kiri c, maka mudah dilihat bahwa f: A → ℝ memiliki limit pada c jika dan hanya jika ia memiliki limit kanan pada c. Selain itu, dalam kasus ini limitnya dan limit kanannya adalah sama. Situasi serupa terjadi untuk limit kiri ketika A adalah interval dengan titik ujung kanan c.

B. Kriteria Barisan untuk Limit Kanan

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f: A → ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A ∩ (c, ∞). Maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i)

(ii) Untuk setiap barisan (xₙ) yang konvergen ke c sedemikian rupa sehingga xₙ ∈ A dan xₙ > c untuk semua n ∈ ℕ, barisan (f(xₙ)) konvergen ke L.

C. Hubungan Limit dengan Kesamaan Limit Kedua Sisi

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f: A → ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari kedua himpunan A ∩ (c, ∞) dan A ∩ (−∞, c). Maka

jika dan hanya jika

2. Limit Tak Hingga

A. Definisi Limit Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f: A → ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A.

(i) Kita katakan bahwa f menuju ke ∞ ketika x → c, dan kita tulis

jika untuk setiap α ∈ ℝ terdapat δ = δ(α) > 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x ∈ A dengan 0 < |x − c| < δ, maka f(x) > α. Disimbolkan:

(∀α ∈ ℝ)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ ⇒ f(x) > α

(ii) Kita katakan bahwa f menuju ke −∞ ketika x → c, dan kita tulis

jika untuk setiap β ∈ ℝ terdapat δ = δ(β) > 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x ∈ A dengan 0 < |x − c| < δ, maka f(x) < β. Disimbolkan:

(∀β ∈ ℝ)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ ⇒ f(x) < β

B. Teorema Pembandingan Limit Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f, g: A → ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A. Misalkan f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈ A, x ≠ c.

(i) Jika

, maka

(ii) Jika

, maka

Bukti:

(i) Jika

dan α ∈ ℝ diberikan, maka ada δ(α) > 0 sedemikian sehingga jika 0 < |x − c| < δ(α) dan x ∈ A, maka f(x) > α. Tetapi karena f(x) ≤ g(x) untuk semua x ∈ A, x ≠ c, maka dapat disimpulkan bahwa jika 0 < |x − c| < δ(α) dan x ∈ A, maka g(x) > α. Oleh karena itu a

Bukti dari (b) serupa.

Q.E.D.

C. Limit Tak Hingga Satu Sisi

Misalkan A ⊆ ℝ dan misalkan f: A → ℝ. Jika c ∈ ℝ adalah titik cluster dari himpunan A ∩ (c, ∞) = {x ∈ A: x > c}, maka kita katakan bahwa f menuju ke ∞ [atau −∞] ketika x → c⁺, dan kita tulis

[atau

jika untuk setiap α ∈ ℝ ada δ = δ(α) > 0 sedemikian rupa sehingga untuk semua x ∈ A dengan 0 < x − c < δ, maka f(x) > α [secara berurutan, f(x) < α]. Disimbolkan:

(∀α ∈ ℝ)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < x – c < δ ⇒ f(x) > α

3. Limit Menuju Tak Hingga

A. Definisi Limit Menuju Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ dan misalkan f: A → ℝ. Misalkan (a, ∞) ⊆ A untuk beberapa a ∈ ℝ. Kita katakan bahwa L ∈ ℝ adalah limit dari f ketika x → ∞, dan kita tulis

jika diberikan sembarang ε > 0 ada K = K(ε) > a sedemikian rupa sehingga untuk setiap x > K, maka |f(x) – L| < ε. Disimbolkan:

(∀α ∈ ℝ)(∃K > a) ∋ (∀x > K). |f(x) – L| < ε.

B. Kriteria Barisan untuk Limit Menuju Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f: A → ℝ, dan andaikan (a, ∞) ⊆ A untuk beberapa a ∈ ℝ. Maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i)

(ii) Untuk setiap barisan (xₙ) di A ∩ (a, ∞) sedemikian rupa sehingga lim(xₙ) = ∞, barisan (f(xₙ)) konvergen ke L.

C. Limit Tak Hingga Menuju Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ dan misalkan f: A → ℝ. Misalkan (a, ∞) ⊆ A untuk beberapa a ∈ ℝ. Kita katakan bahwa f menuju ke ∞ [secara berurutan, −∞] ketika x → ∞, dan kita tulis

[secara berurutan,

jika diberikan sembarang α ∈ ℝ ada K = K(α) > a sedemikian rupa sehingga untuk setiap x > K, maka f(x) > α [secara berurutan, f(x) < α].

D. Kriteria Barisan untuk Limit Tak Hingga Menuju Tak Hingga

Misalkan A ∈ ℝ, misalkan f: A → ℝ, dan andaikan (a, ∞) ⊆ A untuk beberapa a ∈ ℝ. Maka pernyataan-pernyataan berikut adalah ekivalen:

(i)

[secara berurutan,

]

(ii) Untuk setiap barisan (xₙ) di (a, ∞) sedemikian rupa sehingga lim(xₙ) = ∞, maka lim(f(xₙ)) = ∞ [secara berurutan, lim(f(xₙ)) = −∞].

E. Teorema Pembandingan untuk Limit Tak Hingga Menuju Tak Hingga

Misalkan A ⊆ ℝ, misalkan f, g: A → ℝ, dan misalkan (a, ∞) ⊆ A untuk beberapa a ∈ ℝ. Misalkan lebih lanjut bahwa g(x) > 0 untuk semua x > a dan untuk beberapa L ∈ ℝ, L ≠ 0, kita memiliki

(i) Jika L > 0, maka

jika dan hanya jika

(ii) Jika L < 0, maka

jika dan hanya jika

Bukti:

(i) Karena L > 0, hipotesis mengimplikasikan bahwa ada a₁ > a sedemikian rupa sehingga

½L < f(x) / g(x) < ³⁄₂L untuk x > a₁.

Oleh karena itu kita memiliki (½L)g(x) < f(x) < (³⁄₂L)g(x) untuk semua x > a₁, dari mana kesimpulan mudah didapat.

Bukti dari (ii) serupa.

Q.E.D.

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa fungsi f(x) = 1/(e^1/x + 1) tidak memiliki limit di x = 0, tetapi memiliki limit kiri dan limit kanan.

Perhatikan bahwa untuk x > 0, semakin x mendekati 0, maka nilai dari e^1/x + 1 semakin membesar menuju ∞. Akibatnya nilai dari f(x) = 1/(e^1/x + 1) semakin mengecil mendekati 0. Jadi, limit kanannya adalah 0.

Sedangkan untuk x < 0, semakin x mendekati 0, maka nilai dari 1/x semakin mengecil menuju −∞, sehingga nilai dari e^1/x semakin mengecil menuju 0, dan diperoleh e^1/x + 1 semakin menuju 1. Akibatnya, nilai dari f(x) = 1/(e^1/x + 1) semakin menuju 1/1 = 1. Jadi, limit kirinya adalah 1.

Dikarenakan limit kanan dan limit kiri berbeda, maka limitnya tidak ada.

2. Buktikan bahwa semakin x mendekati 0, maka nilai f(x) = 1/x² semakin menuju ∞.

Ambil sebarang α ∈ ℝ. Berikut kasus-kasus yang memungkinkan:

Untuk α ≤ 0, jelas bahwa berapapun δ yang dipilih, selalu berlaku f(x) = 1/x² > α.

Untuk α > 0, pilih δ = 1/√α, sehingga (∀x ∈ A) berlaku:

0 < |x – 0| = |x| < δ = 1/√α ⇒ f(x) = 1/x² = 1/|x|² > 1/δ² = (√α)² = α.

3. Misal f(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q fungsi polinomial. Buktikan bahwa jika derajat p kurang dari derajat q maka untuk x menuju ∞, nilai dari f akan menuju 0.

Misal fungsi p(x) = pₙxⁿ + pₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + p₁x + p₀ dan q(x) = qₘxᵐ + qₘ₋₁xᵐ⁻¹ + ... + q₁x + q₀.

Berikut penulisan limit f:

Bagi masing-masing p(x) dan q(x) dengan xᵐ, diperoleh

Ingat kembali sifat aljabar limit fungsi, dengan memanfaatkannya akan kita peroleh:

Perhatikan bahwa semua suku pembilang memiliki x yang berpangkat negatif, sehingga limitnya 0. Sedangkan penyebut semua suku juga limitnya 0 kecuali qₘ, dimana qₘ ≠ 0 berdasarkan definisi fungsi polinomial. Sehingga diperoleh:

4. Misal f(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q fungsi polinomial yang keduanya berderajat sama. Buktikan bahwa untuk x menuju ∞, nilai dari f akan menuju hasil bagi koefisien pangkat tertinggi.

Misal fungsi p(x) = pₙxⁿ + pₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + p₁x + p₀ dan q(x) = qₙxⁿ + qₙ₋₁xⁿ⁻¹ + ... + q₁x + q₀.

Berikut penulisan limit f:

Bagi masing-masing p(x) dan q(x) dengan xⁿ, diperoleh