Masalah Rangkaian Listrik / Electric Circuit Problem (Aplikasi Perdif)

Kita akan membahas penerapan persamaan diferensial pada rangkaian seri yang berisi
• gaya gerak listrik (electromotive force), dan 
• resistor, induktor, dan kapasitor.

1. Penurunan Tegangan
Minfor asumsikan Sixtyfourians sudah agak familiar dengan komponen-komponen ini, jadi kita akan menghindari pembahasan yang ekstensif. Mari kita ingat saja bahwa gaya gerak listrik (misalnya, baterai atau generator) menghasilkan aliran arus dalam sirkuit tertutup dan bahwa arus ini menghasilkan apa yang disebut penurunan tegangan (voltage drop) di setiap resistor, induktor, dan kapasitor. Selanjutnya, tiga hukum berikut mengenai penurunan tegangan di seluruh elemen-elemen ini diketahui berlaku:
• Hukum Penurunan Tegangan 1
Penurunan tegangan pada sebuah resistor diberikan oleh
ER = RI,
di mana R adalah konstanta proporsionalitas yang disebut resistansi, dan I adalah arus.
• Hukum Penurunan Tegangan 2
Penurunan tegangan pada sebuah induktor diberikan oleh
di mana L adalah konstanta proporsionalitas yang disebut induktansi, dan I sekali lagi menunjukkan arus.
• Hukum Penurunan Tegangan 3
Penurunan tegangan pada sebuah kapasitor diberikan oleh
di mana C adalah konstanta proporsionalitas yang disebut kapasitansi dan Q adalah muatan sesaat pada kapasitor. Karena I = dQ/dt, ini sering juga ditulis sebagai
Berikut ini tabel satuan yang biasa dipakai:

Kuantitas dan simbol

Satuan

GGL (gaya gerak listrik) atau tegangan E

volt (V)

Arus I

ampere

Muatan Q

coulomb

Resistansi R

ohm (Ω)

Induktansi L

henry (H)

Kapasitansi C

farad

2. Hukum Kirchhoff
A. Hukum Kirchhoff
Hukum fundamental dalam studi sirkuit listrik adalah sebagai berikut:
• Hukum Tegangan Kirchhoff (Bentuk 1). Jumlah aljabar dari penurunan tegangan sesaat di sekitar sirkuit tertutup dalam arah tertentu adalah nol.
Karena penurunan tegangan di seluruh resistor, induktor, dan kapasitor memiliki tanda yang berlawanan dengan tegangan yang berasal dari gaya gerak listrik, kita dapat menyatakan hukum ini dalam bentuk alternatif berikut:
• Hukum Tegangan Kirchhoff (Bentuk 2). Jumlah penurunan tegangan di seluruh resistor, induktor, dan kapasitor sama dengan total gaya gerak listrik dalam sirkuit tertutup.
B. Penerapan Hukum Kirchhoff
Pertimbangkan rangkaian pada gambar berikut:
Keterangan:
E: gaya gerak listrik / electromotive force
R: resistor
L: induktor
C: kapasitor
Mari kita terapkan hukum Kirchhoff. Dengan menetapkan E sebagai gaya gerak listrik, dan menggunakan hukum 1, 2, dan 3 penurunan tegangan yang diberikan di atas, kita langsung mendapatkan persamaan:
Persamaan ini memuat dua variabel terikat, yaitu I dan Q. Namun, kita ingat bahwa kedua variabel ini saling berhubungan satu sama lain melalui persamaan
I = dQ/dt
Dengan menggunakan ini, kita dapat menghilangkan I dan menuliskannya dalam bentuk
Persamaan ini adalah persamaan diferensial linear orde-dua dalam satu variabel terikat Q. Di sisi lain, jika kita mendiferensialkannya terhadap t dan menggunakan I = dQ/dt, kita dapat menghilangkan q dan menuliskannya sebagai
Ini adalah persamaan diferensial linear orde-dua dalam satu variabel terikat I.
Jadi, kita memiliki dua persamaan diferensial linear orde-dua, yaitu untuk muatan Q dan arus I. Selanjutnya, perhatikan bahwa dalam dua kasus yang sangat sederhana, masalahnya dapat disederhanakan menjadi persamaan diferensial linear orde-satu. Jika sirkuit tidak mengandung kapasitor, langsung disederhanakan menjadi
sementara jika tidak ada induktor, persamaannya disederhanakan menjadi
Sebelum membahas contoh, kita akan melihat sebuah analogi yang menarik dan berguna. Persamaan diferensial untuk muatan persis sama dengan persamaan diferensial untuk getaran massa pada pegas, kecuali untuk notasi yang digunakan. Artinya, sistem kelistrikan yang dijelaskan adalah analog dengan sistem mekanik. Analogi ini disajikan dalam tabel berikut:

Sistem Mekanik

Sistem Kelistrikan

Massa m

Induktansi L

Konstanta redaman a

Resistansi R

Konstanta pegas k

Kebalikan dari kapasitansi 1/C

Gaya yang diterapkan F(t)

Tegangan atau GGL E

Perpindahan x

Muatan Q

Kecepatan v = dx/dt

Arus I = dQ/dt

Contoh Soal
1. Sebuah rangkaian seri dengan gaya gerak listrik yang diberikan oleh E(t) = 85·sin(100t) V, sebuah resistor 10 Ω, sebuah induktor 0,05 H, dan sebuah kapasitor 2 × 10⁻⁴ farad. Jika arus awal dan muatan awal pada kapasitor sama-sama nol, tentukan muatan pada kapasitor pada setiap saat t > 0.
• Solusi homogen
Diberikan L = 0,05 H; R = 10 Ω; dan C = 2 × 10⁻⁴ farad, sehingga 1/C = 5000
Diberikan E(t) = 85·sin(100t) V, diperoleh persamaan:
(0,05)Q'' + 10Q' + 5000Q = 85·sin(100t), kalikan masing-masing ruas dengan 20
Q'' + 200Q' + 100000Q = 1700·sin(100t)
Solusi homogen dapat dicari dari persamaan karakteristik:
r² + 200r + 100000 = 0
(r + 100)² = –90000
r + 100 = ±300i
r = –100 ± 300i
Qₕ = c₁e⁻¹⁰⁰ᵗ·cos(300t) + c₂e⁻¹⁰⁰ᵗ·sin(300t)
• Solusi khusus
Selanjutnya perhatikan bahwa E(t) berbentuk sinus, sehingga solusi khususnya dapat dicari menggunakan metode koefisien tak tentu, yaitu:
Qₚ = c₃cos(100t) + c₄sin(100t), turunkan 2 kali
Qₚ' = –100c₃sin(100t) + 100c₄cos(100t)
Qₚ'' = –10000c₃cos(100t) – 10000c₄sin(100t)
Masukkan ke persamaan awal
(0,05)·[–10000c₃cos(100t) – 10000c₄sin(100t)] + 10·[–100c₃sin(100t) + 100c₄cos(100t)] + 5000·[c₃cos(100t) + c₄sin(100t)] = 85·sin(100t)
[4500c₃ + 1000c₄]·cos(100t) + [–1000c₃ + 4500c₄]·sin(100t) = 85·sin(100t)
Diperoleh:
4500c₃ + 1000c₄ = 0 ...(i)
–1000c₃ + 4500c₄ = 85 ...(ii)
2(i) + 9(ii) → 42500c₄ = 765 ↔ c₄ = 0,018
9(i) – 2(ii) → 42500c₃ = –170 ↔ c₃ = –0,004
Qₚ = (0,018)·cos(100t) – (0,004)·sin(100t)
Q = Qₕ + Qₚ 
Q = c₁e⁻¹⁰⁰ᵗ·cos(300t) + c₂e⁻¹⁰⁰ᵗ·sin(300t) + (0,018)·cos(100t) – (0,004)·sin(100t)
masukkan Q(0) = 0
c₁e⁰·cos(0) + c₂e⁰·sin(0) + (0,018)·cos(0) – (0,004)·sin(0) = 0
↔ c₁ + 0,018 = 0 ↔ c₁ = –0,018
tentukan Q'
Q' = –100c₁e⁻¹⁰⁰ᵗ·cos(300t) + 300e⁻¹⁰⁰ᵗ·sin(300t) – 100c₂e⁻¹⁰⁰ᵗ·sin(300t) – 300c₂e⁻¹⁰⁰ᵗ·cos(300t) – (1,8)·sin(100t) – (0,4)·cos(100t)
masukkan Q'(0) = 0
–100c₁e⁰·cos(0) + 300e⁰·sin(0) – 100c₂e⁰·sin(0) – 300c₂e⁰·cos(0) – (1,8)·sin(0) – (0,4)·cos(0)
↔ –100c₁ – 300c₂ – 0,4 = 0 ↔ 1,8 – 300c₂ – 0,4 = 0 ↔ c₂ = 7/1500
Jadi, solusi MNA ini adalah
Q = (–0,018)e⁻¹⁰⁰ᵗ·cos(300t) + (7/1500)e⁻¹⁰⁰ᵗ·sin(300t) + (0,018)·cos(100t) – (0,004)·sin(100t)
Dengan kata lain, muatan listrik terhadap waktu dirumuskan:

2. Sebuah rangkaian seri dengan gaya gerak listrik yang diberikan oleh E(t) = 481·sin(200t) V, sebuah resistor 40 Ω, sebuah induktor 0,25 H, dan sebuah kapasitor 4 × 10⁻⁴ farad. Jika arus awal adalah nol, dan muatan awal pada kapasitor adalah 0,01 coulomb, tentukan arus pada setiap saat t > 0.
• Solusi homogen
Diberikan L = 0,25 H; R = 40 Ω; dan C = 4 × 10⁻⁴ farad, sehingga 1/C = 2500
Diberikan E(t) = 100·sin(200t) V, diperoleh persamaan:
(0,25)Q'' + 40Q' + 2500Q = 481·sin(200t), kalikan masing-masing ruas dengan 4
Q'' + 160Q' + 10000Q = 1924·sin(200t)
Solusi homogen dapat dicari dari persamaan karakteristik:
r² + 160r + 10000 = 0
(r + 80)² = –3600
r + 80 = ±60i
r = –80 ± 60i
Qₕ = c₁e⁻⁸⁰ᵗ·cos(60t) + c₂e⁻⁸⁰ᵗ·sin(60t)
• Solusi khusus
Selanjutnya perhatikan bahwa E(t) berbentuk sinus, sehingga solusi khususnya dapat dicari menggunakan metode koefisien tak tentu, yaitu:
Qₚ = c₃cos(200t) + c₄sin(200t), turunkan 2 kali
Qₚ' = –200c₃sin(200t) + 200c₄cos(200t)
Qₚ'' = –40000c₃cos(200t) – 40000c₄sin(200t)
Masukkan ke persamaan awal
(0,25)[–40000c₃cos(200t) – 40000c₄sin(200t)] + 40[–200c₃sin(200t) + 200c₄cos(200t)] + 2500[c₃cos(200t) + c₄sin(200t)] = 481·sin(200t)
[–7500c₃ + 8000c₄]·cos(200t) + [–7500c₄ – 8000c₃]·sin(200t) = 481·sin(200t)
Diperoleh
–7500c₃ + 8000c₄ = 0 ⇔ –15c₃ + 16c₄ = 0 ...(i)
–8000c₃ – 7500c₄ = 481 ...(ii)
1600(i) – 3(ii) → 48100c₄ = –1443 ⇔ c₄ = –3/100
1875(i) + 4(ii) → –60125c₃ = 1924 ⇔ c₃ = –4/125
Qₚ = (–4/125)·cos(200t) + (–3/100)·sin(200t)
Q = Qₕ + Qₚ 
Q = c₁e⁻⁸⁰ᵗ·cos(60t) + c₂e⁻⁸⁰ᵗ·sin(60t) – (4/125)·cos(200t) – (3/100)·sin(200t), turunkan terhadap t
Q' = –60·c₁·e⁻⁸⁰ᵗ·sin(60t) + 60·c₂e⁻⁸⁰ᵗ·cos(60t) + (32/5)·sin(200t) – 6·cos(200t)
Diberikan muatan awal pada kapasitor adalah 0,01 coulomb; berarti Q(0) = 0,01
Diberikan arus awal Q'(0) = 0; masukkan ke Q dan Q'
c₁·cos(0) + c₂·sin(0) – (4/125)·cos(0) – (3/100)·sin(0) = 0 ⇔ c₁ = 4/125
–60·c₁·sin(0) + 60·c₂·cos(0) + (32/5)·sin(0) – 6·cos(0) = 0 ⇔ c₂ = ⅒
Jadi, solusi MNA ini adalah
Q = (4/125)·e⁻⁸⁰ᵗ·cos(60t) + ⅒·e⁻⁸⁰ᵗ·sin(60t) – (4/125)·cos(200t) – (3/100)·sin(200t), boleh juga
Q = (0,032)·e⁻⁸⁰ᵗ·cos(60t) + (0,1)·e⁻⁸⁰ᵗ·sin(60t) – (0,032)·cos(200t) – (0,03)·sin(200t)

3. Sebuah sirkuit memiliki susunan seri dengan gaya gerak listrik yang diberikan oleh E(t) = 200·e⁻¹⁰⁰ᵗ V, sebuah resistor 80 Ω, sebuah induktor 0,2 H, dan sebuah kapasitor 1,25 × 10⁻⁴ farad. Jika arus awal dan muatan awal pada kapasitor sama-sama nol, tentukan arus pada setiap saat t > 0.
• Solusi homogen
Diberikan L = 0,2 H; R = 80 Ω; dan C = 1,25 × 10⁻⁴ farad, sehingga 1/C = 8000
Diberikan E(t) = 200·e⁻¹⁰⁰ᵗ V, diperoleh persamaan:
(0,2)Q'' + 80Q' + 8000Q = 200·e⁻¹⁰⁰ᵗ, kalikan masing-masing ruas dengan 5
Q'' + 400Q' + 40000Q = 1000·e⁻¹⁰⁰ᵗ
Solusi homogen dapat dicari dari persamaan karakteristik:
r² + 400r + 40000 = 0
(r + 200)² = 0
r = –200
Qₕ = c₁e⁻²⁰⁰ᵗ + c₂t·e⁻²⁰⁰ᵗ
• Solusi khusus
Selanjutnya perhatikan bahwa E(t) berbentuk eksponen, sehingga solusi khususnya dapat dicari menggunakan metode koefisien tak tentu, yaitu:
Qₚ = c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ, turunkan 2 kali
Qₚ' = –100·c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ
Qₚ'' = 10000·c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ
Masukkan ke persamaan awal
(0,2)10000·c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ + 80[–100·c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ] + 8000c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ = 200·e⁻¹⁰⁰ᵗ
2000c₃·e⁻¹⁰⁰ᵗ = 200·e⁻¹⁰⁰ᵗ
c₃ = ⅒
Qₚ = ⅒·e⁻¹⁰⁰ᵗ
Q = Qₕ + Qₚ = c₁e⁻²⁰⁰ᵗ + c₂t·e⁻²⁰⁰ᵗ + ⅒·e⁻¹⁰⁰ᵗ, turunkan terhadap t
Q' = –200c₁e⁻²⁰⁰ᵗ + c₂e⁻²⁰⁰ᵗ – 200c₂t·e⁻²⁰⁰ᵗ – 10·e⁻¹⁰⁰ᵗ
Diberikan arus awal dan muatan awal pada kapasitor sama-sama nol, berarti Q(0) = 0 dan Q'(0) = 0.
c₁ + 0 + ⅒ = 0 ⇔ c₁ = –⅒
–200c₁ + c₂ – 0 – 10 = 0 ⇔ c₂ = 200c₁ + 10 = –20 + 10 = –10
Jadi, solusi MNA ini adalah Q = –⅒·e⁻²⁰⁰ᵗ – 10·t·e⁻²⁰⁰ᵗ + ⅒·e⁻¹⁰⁰ᵗ.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

2025: ONMIPA (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam)

Gambar
Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI) setiap tahun menyelenggarakan Olimpiade Nasional bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA-PT) untuk mengembangkan talenta dan prestasi mahasiswa di bidang sains, riset, dan teknologi. ONMIPA-PT merupakan salah satu upaya untuk memenuhi kebijakan Merdeka Belajar Kampus Merdeka (MBKM) dan Indeks Kinerja Utama (IKU) perguruan tinggi, yaitu memfasilitasi mahasiswa untuk berprestasi di berbagai kompetisi. ONMIPA-PT diharapkan dapat menumbuhkan kecintaan pada Matematika dan IPA, menemukan talenta-talenta terbaik di bidang ini, serta mendorong kualitas pembelajaran dan prestasi perguruan tinggi. ONMIPA-PT diselenggarakan untuk meningkatkan penguasaan Matematika dan IPA. Penguasaan MIPA penting untuk mendorong daya saing bangsa dalam pengembangan sains dan teknologi. ONMIPA-PT telah diselenggarakan sejak tahun 2009 dan terdiri dari tiga tahap seleksi, yaitu seleksi tingkat perguruan tinggi, tingkat wilayah, dan tingkat nas...
Read more »

Jarak Antara Dua Garis

Gambar
A. Jarak Nol 1. Jarak antara dua garis yang berhimpit adalah nol 2. Jarak antara dua garis yang berpotongan adalah nol B. Jarak Antara Dua Garis Sejajar Misal diberikan dua garis g dan h, cara untuk menentukan jarak antara keduanya adalah dengan mengambil sebarang titik yang terletak pada salahsatu garis (misalnya titik yang terletak pada garis g), lalu proyeksikan pada garis yang lain (garis h), jarak antara keduanya sama dengan panjang proyeksi tersebut. contoh: Diketahui balok ABCD.EFGH dengan AB = 5cm, BC = 4cm, AE = 3cm, titik P pada pertengahan AE dan titik Q pada pertengahan AB. Tentukan jarak dari PQ ke BE! PQ//BE karena keduanya terletak pada bidang ABFE, dan apabila keduanya diperpanjang tidak mungkin berpotongan. Proyeksikan titik Q ke garis BE, terletak pada titik Q'. Beberapa panjang sisi yang diperlukan: Kita dapat mencari panjang proyeksi dengan kesebangunan segitiga: (i) ∠PAQ = ∠BQ'Q karena siku-siku (ii) ∠PQA = ∠Q'BQ karena sehadap Jadi, segitiga PAQ...
Read more »