Metode Matriks untuk Sisperdif Linier Homogen Berkoefisien Konstan

1. Pengenalan

Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen

dx₁/dt = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

dx₂/dt = a₂₁x₁ + a₂₂x₂

dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita nyatakan sisperdif ini dalam bentuk matriks:

bentuk ini dapat dituliskan sebagai x' = Ax, dengan

pada bentuk ini x dan x' merupakan vektor di ℝ² dan A matriks berukuran 2 × 2.

Kita coba tentukan solusi dalam bentuk

x₁ = α₁e^λt 

x₂ = α₂e^λt 

dimana α₁, α₂, dan λ adalah konstanta. Kita simbolkan vektor α sebagai:

kita lihat bahwa x = e^λtα, sehingga x' = λx = λe^λtα.
Sehingga kita peroleh bahwa

λe^λtα = Ae^λtα, bagi masing-masing ruas dengan e^λt, diperoleh

Aα = λα 

(A – λI)α = 0, terbentuk SPL homogen berikut:

(a₁₁ – λ)α₁ + a₁₂α₂ = 0

a₂₁α₁ + (a₂₂ – λ)α₂ = 0

agar SPL homogen ini memiliki solusi trivial, diharuskan

det(A – λI) = 0, terbentuk persamaan kuadrat dalam λ sebagai berikut:

λ² – (a₁₁ + a₂₂)λ + (a₁₁a₂₂ – a₁₂a₂₁) = 0

nilai λ yang memenuhi persamaan kuadrat ini disebut sebagai nilai karakteristik atau nilai eigen.

Tiga kasus sekarang harus dipertimbangkan:

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah real berbeda.

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah kompleks konjugat.

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah real sama.

2. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Real Berbeda

Diberikan sisperdif linier homogen berkoefisien konstan x' = Ax, sebagaimana pada bagian pengenalan. Misal matriks A memiliki nilai eigen λ₁ dan λ₂ real berbeda; sedangkan α₁ dan α₂ keduanya vektor eigen yang bebas linier dari A. Solusi untuk x adalah

x = c₁e^λ₁tα₁ + c₂e^λ₂tα₂

dimana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

untuk mencari nilai eigen dari matriks A, mula-mula tentukan A – λI

dengan menyamakan det(A – λI) = 0, diperoleh persamaan karakteristik:

λ² – (5 + 1)λ + (5·1 – 3·(–1)) = 0

λ² – 6λ + 8 = 0

(λ – 2)(λ – 4) = 0

λ = 2 ∨ λ = 4

• Untuk λ = 2, berikut SPL homogen yang terbentuk

Diperoleh vektor eigen yang bersesuaian adalah

• Untuk λ = 4, berikut SPL homogen yang terbentuk

Diperoleh vektor eigen yang bersesuaian adalah

• Solusi total

x = c₁e^λ₁tα₁ + c₂e^λ₂tα₂

3. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Kompleks Konjugat

Untuk kasus dimana akar-akar λ₁ dan λ₂ dari persamaan karakteristik yang terkait dengan sistem adalah bilangan kompleks konjugat a ± bi. Untuk menentukan solusi, kita cukup menggunakan salahsatu nilai λ, lalu kita buat kombinasi linier dari bagian real dan bagian imajiner.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

untuk mencari nilai eigen dari matriks A, mula-mula tentukan A – λI

dengan menyamakan det(A – λI) = 0, diperoleh persamaan karakteristik:

λ² – 4λ + 13 = 0

(λ – 2)² = –9

λ – 2 = ±3i

λ = 2 ± 3i

Pilih λ = 2 + 3i, terbentuk SPL homogen

Diperoleh vektor eigennya

Sehingga solusi kompleks sisperdif ini adalah

Berikut ini bagian real dan imajiner dari solusi kompleks:

Solusi total

x = c₁·Re(x) + c₂·Im(x)

4. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Real Sama

Misalkan kedua nilai karakteristik λ₁ dan λ₂ dari A adalah real dan sama; dan λ menunjukkan nilai umum mereka. Misalkan α menjadi vektor karakteristik yang bersesuaian dengan A dan biarkan β menjadi vektor yang memenuhi persamaan

(A – λI)β = α 

Kemudian pada setiap interval real, fungsi-fungsi vektor yang didefinisikan oleh

αe^λt dan (αt + β)e^λt 

membentuk himpunan solusi yang bebas linier; dan

x = c₁e^λtα + c₂e^λt(αt + β),

di mana c₁ dan c₂ adalah konstanta-konstanta sebarang, adalah solusi umumnya.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

• Solusi pertama

untuk mencari nilai eigen dari matriks A, mula-mula tentukan A – λI

dengan menyamakan det(A – λI) = 0, diperoleh persamaan karakteristik:

λ² – 10λ + 25 = 0

(λ – 5)² = 0

λ – 5 = 0

λ = 5, masukkan ke A – λI dan diperoleh SPL homogen berikut:

Diperoleh vektor eigennya

• Solusi kedua

Selanjutnya akan dicari solusi kedua sebagai berikut:

(A – λI)β = α 

diperoleh vektor β:

• Solusi total

x = c₁e^λtα + c₂e^λt(αt + β)