Metode Operator untuk Sistem Persamaan Diferensial Linier dengan Koefisien Konstan

1. Sistem Persamaan Diferensial Linier Tingkat Pertama dengan Dua Variabel Terikat

Kita mulai dengan memperkenalkan berbagai jenis sistem linear yang akan kita pertimbangkan. Sistem linear umum dari dua persamaan diferensial tingkat pertama (first-order) dalam dua fungsi tak diketahui, x dan y, adalah dalam bentuk

Kita akan memperhatikan sistem jenis ini yang memiliki koefisien konstan. Contoh dari sistem semacam itu adalah

Kita akan mengatakan bahwa sebuah solusi dari sistem tersebut adalah pasangan terurut dari fungsi-fungsi real (f, g) sedemikian sehingga x = f(t), y = g(t) secara simultan memenuhi kedua persamaan dari sistem tersebut pada suatu interval real a ≤ t ≤ b.

2. Solusi

Pasangan berurutan dari n fungsi real (f₁, f₂, ..., fₙ) disebut solusi sisperdif linear orde satu dengan n variabel tak bebas jika xᵢ = fᵢ(t), i = 1, 2, ..., n memenuhi sistem tersebut secara simultan pada suatu interval [a, b].

Untuk n = 2: x₁ = f₁(t), x₂ = f₂(t)

3. Operator Diferensial

Pada bagian ini kita akan menyajikan metode operator simbolis untuk menyelesaikan sistem linear dengan koefisien konstan. Metode ini bergantung pada penggunaan operator diferensial, yang sekarang kita perkenalkan.

Misalkan x adalah fungsi yang dapat didiferensialkan n-kali dari variabel independen t. Kita menyatakan operasi diferensiasi terhadap t dengan simbol D dan menyebut D sebagai operator diferensial. Dalam hal operator diferensial ini, turunan dx/dt dilambangkan dengan Dx. Yaitu,

Dx = dx/dt.

Dengan cara yang sama, kita menyatakan turunan kedua dari x terhadap t dengan D²x. Meluasinya, kita menyatakan turunan ke-n dari x terhadap t dengan Dⁿx. Yaitu,

Dⁿx = dⁿx/dtⁿ (n = 1, 2, ...).

Lebih lanjut memperluas notasi operator ini, kita menulis

(D + c)x untuk menyatakan dx/dt + cx

dan

(aDⁿ + bDᵐ)x untuk menyatakan a dⁿx/dtⁿ + b dᵐx/dtᵐ,

di mana a, b, dan c adalah konstanta.

Dalam notasi ini, ekspresi diferensial linear umum dengan koefisien konstan a₀, a₁, ..., aₙ₋₁, aₙ,

a₀ dⁿx/dtⁿ + a₁ dⁿ⁻¹x/dtⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁ dx/dt + aₙx,

ditulis

(a₀Dⁿ + a₁Dⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁D + aₙ)x.

Perhatikan dengan cermat bahwa operator-operator Dⁿ, Dⁿ⁻¹, ..., D dalam ekspresi ini tidak merepresentasikan kuantitas yang akan dikalikan dengan fungsi x, melainkan mengindikasikan operasi (diferensiasi) yang akan dilakukan pada fungsi tersebut. Ekspresi

a₀Dⁿ + a₁Dⁿ⁻¹ + ... + aₙ₋₁D + aₙ

dengan sendirinya, di mana a₀, a₁, ..., aₙ₋₁ adalah konstanta, disebut operator diferensial linear dengan koefisien konstan.

Sebagai contoh:

Operator (D² + 3D + 2)x sama dengan x'' + 3x' + 2x.

Untuk x = t² → (D² + 3D + 2)x = x'' + 3x' + 2x = 2 + 6t + 2t²

4. Metode Operator untuk Sistem Persamaan Diferensial Linier Berkoefisien Konstan

Contoh:

nyatakan dalam bentuk operator

Dx + Dy – x – 3y = 3t ⇔ (D – 1)x + (D – 3)y = 3t ...(i)

Dx + 2Dy – 2x – 3y = 1 ⇔ (D – 2)x + (2D – 3)y = 1 ...(ii)

• Solusi untuk x

Dengan menggunakan aturan Cramer, kita peroleh persamaan untuk x sebagai berikut:

[(D – 1)(2D – 3) – (D – 2)(D – 3)]x = (2D – 3)3t – (D – 3)1

(D² – 3)x = 6 – 9t – 0 + 3 = 9 – 9t

x'' – 3x = 9 – 9t

Solusi homogen dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik:

r² – 3 = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan 3

r² = 3

r = ±√3

xₕ = c₁e^√3t + c₂e^–√3t 

Sedangkan solusi khusus, mempertimbangkan fungsi di sisi kanan adalah 9 – 9t, solusi khususnya berbentuk:

xₚ = c₃t + c₄ → xₚ'' = 0, masukkan ke persamaan x

0 – 3(c₃t + c₄) = 9 – 9t, bagi masing-masing ruas dengan –3

c₃t + c₄ = 3t – 3, diperoleh

c₃ = 3, c₄ = –3

xₚ = 3t – 3

Solusi total untuk x

x = xₕ + xₚ = c₁e^√3t + c₂e^–√3t + 3t – 3

• Solusi untuk y

Selanjutnya dengan menggunakan aturan Cramer, kita peroleh persamaan untuk y sebagai berikut:

[(D – 1)(2D – 3) – (D – 2)(D – 3)]y = (D – 1)1 – (D – 2)3t

(D² – 3)y = 0 – 1 – 3 + 6t = 6t – 4

y'' – 3y = 6t – 4

Solusi homogen dapat dicari menggunakan persamaan karakteristik:

r² – 3 = 0, tambahkan masing-masing ruas dengan 3

r² = 3

r = ±√3

yₕ = k₁e^√3t + k₂e^–√3t 

Sedangkan solusi khusus, mempertimbangkan fungsi di sisi kanan adalah 6t – 4, solusi khususnya berbentuk:

yₚ = k₃t + k₄ → yₚ'' = 0, masukkan ke persamaan y

0 – 3(k₃t + k₄) = 6t – 4, bagi masing-masing ruas dengan –3

k₃t + k₄ = –2t + 4/3, diperoleh

k₃ = –2, k₄ = 4/3

yₚ = –2t + 4/3

Solusi total untuk y

y = yₕ + yₚ = k₁e^√3t + k₂e^–√3t – 2t + 4/3

• Penyesuaian banyak konstanta independen dengan determinan operator

Perhatikan bahwa determinan operator adalah

Determinan operator dari sisperdif ini berderajat 2, oleh karena itu banyak konstanta independen juga hanya 2. Dari keempat koefisien c₁, c₂, k₁, k₂ ada keterkaitan diantaranya sehingga hanya ada 2 konstanta yang independen.

Untuk memperoleh keterkaitan antar koefisien, substitusikan x dan y yang diperoleh ke salahsatu persamaan awal, misal kita pilih persamaan (ii)

(D – 2)x + (2D – 3)y = 1

(D – 2)(c₁e^√3t + c₂e^–√3t + 3t – 3) + (2D – 3)(k₁e^√3t + k₂e^–√3t – 2t + 4/3) = 1

[(√3 – 2)c₁ + (2√3 – 3)k₁]e^√3t + [(–√3 – 2)c₂ + (–2√3 – 3)k₂]e^–√3t = 0

Agar bentuk ini terpenuhi, diharuskan:

(√3 – 2)c₁ + (2√3 – 3)k₁ = 0 ⇔ c₁ = –[(2√3 – 3)/(√3 – 2)]k₁ = (√3)k₁

(–√3 – 2)c₂ + (–2√3 – 3)k₂ = 0 ⇔ c₂ = –[(–2√3 – 3)/((–√3 – 2))]k₂ = (–√3)k₂

Jadi, solusi umum sisperdif ini adalah

dengan k₁, k₂ sebarang bilangan real.