Metode Reduksi Order untuk Perdif Linier Homogen Berkoefisien Non-Konstan

1. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Lanjut

Bentuk umum Perdif linier tingkat n adalah:

dengan a₀(x) ≠ 0.

Dalam notasi lain:

a₀(x).y⁽ⁿ⁾ + a₁(x).y⁽ⁿ⁻¹⁾ + ... + aₙ₋₁(x).y' + aₙ(x).y = F(x)

• Untuk kasus dimana F(x) = 0, Perdif ini disebut Perdif linier homogen tingkat n. Sebaliknya jika F(x) ≠ 0 maka Perdif ini disebut Perdif linier non-homogen tingkat n.

• a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x), dan F(x) masing-masing merupakan fungsi dari x yang tidak bergantung pada y. Jika a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x) semuanya merupakan konstanta, maka persamaannya disebut sebagai "Perdif linier tingkat n berkoefisien konstan". Sebaliknya, jika diantara a₀(x), a₁(x), ..., aₙ₋₁(x), aₙ(x) ada yang bukan konstanta, maka persamaannya disebut sebagai "Perdif linier tingkat n berkoefisien non-konstan".

2. Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Non-Konstan

Pada pembahasan perdif linier berkoefisien konstan, kita dapat dengan mudahnya menentukan solusi menggunakan persamaan karakteristik, sedangkan untuk perdif linier berkoefisien non-konstan, kita tidak bisa menggunakan kemudahan tersebut.

Permasalahannya adalah kita mengalami kesulitan dalam menentukan solusinya secara prosedural. Pilihan terakhir adalah dengan mencoba-coba, dan pada akhirnya diperoleh solusi total dengan membentuk kombinasi linier.

3. Metode Reduksi Order

Misal salah satu solusi dari persamaan diferensial linier homogen orde n diketahui maka persamaan diferensial tersebut dapat direduksi menjadi persamaan diferensial dengan orde yang lebih rendah.

Jika f suatu solusi dari persamaan diferensial linier homogen order n, maka transformasi y = f(x)v(x) akan mereduksi persamaan diferensial menjadi persamaan diferensial linier homogen order (n – 1) dalam variabel terikat y = dv/dx.

Jadi, ketika kita berhasil menemukan salahsatu solusi perdif linier homogen, kita bisa memanfaatkannya untuk mengurangi ordernya.

Sebagai contoh, diberikan persamaan diferensial:

(2x + 1)y'' – 4(x + 1)y' + 4y = 0

Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linier homogen berkoefisien non-konstan, sehingga kita tidak dapat menggunakan persamaan karakteristik untuk menentukan solusinya.

Meskipun demikian, kita masih bisa melakukan coba-coba, misalnya y = e²ˣ → y' = 2e²ˣ, y'' = 4e²ˣ, masukkan ke persamaan tersebut

(2x + 1)y'' – 4(x + 1)y' + 4y = (2x + 1)(4e²ˣ) – 4(x + 1)(2e²ˣ) + 4e²ˣ = (8x + 4 – 8x – 8 + 4)e²ˣ = 0

Ini berarti y = e²ˣ merupakan salahsatu solusi, kita dapat memanfaatkannya untuk mereduksi order dari persamaan awal.

Lakukan transformasi y = e²ˣv → y' = 2e²ˣv + e²ˣv'

→ y'' = 4e²ˣv + 2e²ˣv' + 2e²ˣv' + e²ˣv'' = e²ˣv'' + 4e²ˣv' + 4e²ˣv

Masukkan y, y', dan y'' ke persamaan awal

(2x + 1)(e²ˣv'' + 4e²ˣv' + 4e²ˣv) – 4(x + 1)(e²ˣv' + 2e²ˣv) + 4e²ˣv = 0

(2x + 1)e²ˣv'' + (8x + 4 – 4x – 4)e²ˣv' + (8x + 4 – 8x – 8 + 4)e²ˣv = 0

(2x + 1)e²ˣv'' + 4xe²ˣv' = 0, bagi masing-masing ruas dengan e²ˣ

(2x + 1)v'' + 4xv' = 0

Misal w = v', diperoleh persamaan

(2x + 1)w' + 4xw = 0

Bentuk terakhir ini merupakan bentuk tereduksi, dimana persamaan awal yang berorde 2 tereduksi menjadi orde 1. Selesaikan bentuk terakhir ini:

ln|w| = –2x + ln|2x + 1| + C, untuk mempermudah pilih C = 0, dan batasi w > 0, x > –½

ln(w) = –2x + ln(2x + 1), eksponensialkan masing-masing ruas

w = e⁻²ˣ(2x + 1), kembalikan bahwa w = v'

v' = e⁻²ˣ(2x + 1), integralkan

v = ∫e⁻²ˣ(2x + 1) dx = –xe⁻²ˣ – e⁻²ˣ + C, untuk mempermudah, pilih C = 0

v = –xe⁻²ˣ – e⁻²ˣ, masukkan ke y = e²ˣv, diperoleh

y = e²ˣ(–xe⁻²ˣ – e⁻²ˣ) = –x – 1

Solusi total adalah y = c₁e²ˣ + c₂(–x – 1), misal c₃ = –c₂, solusinya menjadi

y = c₁e²ˣ + c₃(x + 1).