Persamaan Diferensial Cauchy-Euler

1. Bentuk Umum Persamaan Diferensial Cauchy-Euler

Salah satu kasus khusus yang memiliki kepentingan praktis yang besar di mana ini dapat dilakukan adalah apa yang disebut persamaan Cauchy-Euler (atau persamaan equidimensional). Ini adalah persamaan dalam bentuk

di mana a₀, a₁, ..., aₙ₋₁, aₙ adalah konstanta.

Perhatikan fitur karakteristik dari persamaan ini, setiap suku di ruas kiri adalah kelipatan konstan dari sebuah ekspresi dalam bentuk xᵏy⁽ᵏ⁾.

Bagaimana untuk memecahkan persamaan seperti itu? Satu-satunya pemikiran yang penuh harapan yang muncul adalah mencoba sebuah transformasi. Tetapi transformasi seperti apa yang harus kita coba dan akan mengarah ke mana? Meskipun tentu saja bermanfaat untuk berhenti sejenak dan mempertimbangkan transformasi seperti apa yang mungkin kita gunakan dalam memecahkan jenis persamaan "baru" saat kita pertama kali menemuinya, tentu tidak bermanfaat untuk menghabiskan banyak waktu mencari cara cerdas yang telah diketahui oleh para matematikawan selama bertahun-tahun.

2. Transformasi Eksponensial untuk Persamaan Diferensial Cauchy-Euler

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial Cauchy-Euler, mula-mula kita buat transformasi x = eᵗ. Transformasi ini akan mengubah persamaan diferensial Cauchy-Euler menjadi persamaan diferensial linier berkoefisien konstan.

Perhatikan bahwa x = eᵗ ⇔ t = ln(x), berikut ini turunan-turunan t terhadap x:

t' = x⁻¹

t'' = –x⁻²

t''' = 2x⁻³

t⁽⁴⁾ = –6x⁻⁴

⋮

t⁽ⁿ⁾ = (–1)ⁿ⁺¹x⁻ⁿ

Selanjutnya turunan y terhadap x

y'(x) = y'(t)·t'(x) = y'(t)·x⁻¹

y''(x) = [y'(t)·x⁻¹]'(x) = y''(t)·t'(x)·x⁻¹ – y'(t)·x⁻² = y''(t)·x⁻² – y'(t)·x⁻² = [y''(t) – y'(t)]·x⁻²

y'''(x) = ([y''(t) – y'(t)]·x⁻²)'(x) = [y'''(t)·x⁻¹ – y''(t)·x⁻¹]·x⁻² – 2[y''(t) – y'(t)]·x⁻³ = [y'''(t) – 3y''(t) + 2y'(t)]·x⁻³

⋮

dan seterusnya.

Jika kita pindahkan x ke ruas kiri, akan diperoleh

xy' = y'(t) = ry

x²y'' = y''(t) – y'(t) = r(r – 1)y

x³y''' = y'''(t) – 3y''(t) + 2y'(t) = r(r – 1)(r – 2)y

dimana r = d/dt, merupakan operator penurunan terhadap t

Berikut ini langkah-langkah mengubah persamaan diferensial Cauchy-Euler ke persamaan diferensial linier berkoefisien konstan:

• Untuk bilangan bulat positif n yang diberikan, tentukan r(r – 1)(r – 2)···[r – (n – 1)].

• Perluas yang sebelumnya sebagai polinomial berderajat n dalam r.

• Ganti rᵏ dengan y⁽ᵏ⁾(t), untuk setiap k = 1, 2, 3, ..., n.

• Samakan xⁿy⁽ⁿ⁾(x) dengan hasil di Langkah 3.

Kasus khusus:

• Jika solusi polinomial berderajat n dalam r merupakan bilangan real berbeda, solusinya adalah xʳ.

Sebagai contoh, misal diberikan persamaan diferensial Cauchy-Euler berikut:

x³y''' – 3x²y'' + 6xy' – 6y = 0

gunakan operator r berikut:

r(r – 1)(r – 2)y – 3r(r – 1)y + 6ry – 6y = 0

(r³ – 3r² + 2r)y – 3(r² – r)y + 6ry – 6y = 0

(r³ – 6r² + 11r – 6)y = 0

y'''(t) – 6y''(t) + 11y'(t) – 6y = 0

solusi persamaan diferensial linier berkoefisien konstan ini adalah

y = c₁eᵗ + c₂e²ᵗ + c₃e³ᵗ = c₁x + c₂x² + c₃x³

Pada kasus ini semua akar karakteristik r merupakan bilangan real berbeda, sehingga kita bisa saja:

(r – 1)(r – 2)(r – 3)y = 0

r = 1 ∨ r = 2 ∨ r = 3

y = c₁x + c₂x² + c₃x³

3. Persamaan Karakteristik

Berikut ini langkah-langkah mengubah persamaan diferensial Cauchy-Euler ke persamaan diferensial linier berkoefisien konstan:

• Untuk bilangan bulat positif n yang diberikan, tentukan r(r – 1)(r – 2)···[r – (n – 1)].

• Perluas yang sebelumnya sebagai polinomial berderajat n dalam r.

• Tentukan solusi polinomial tersebut

* Untuk akar real berbeda, solusi akhir merupakan kombinasi dari xʳ

* Untuk akar real yang berulang, kalikan solusinya dengan polinom dalam t, dengan t = ln(x)

* Untuk akar kompleks konjugat α ± βi, solusinya x^α·[c₁·cos(β·ln(x)) + c₂·sin(β·ln(x))]

Ini akan lebih mudah dimengerti dengan mengingat kembali bahwa x = eᵗ ⇔ t = ln(x).

Contoh Soal

1. x³y''' + 2x²y'' – 10xy' – 8y = 0

Berikut persamaan karakteristik:

r(r – 1)(r – 2)y + 2r(r – 1)y – 10ry – 8y = 0

(r³ – 3r² + 2r)y + 2(r² – r)y – 10ry – 8y = 0

(r³ – r² – 10r – 8)y = 0

(r + 2)(r + 1)(r – 4) = 0

r = –2 ∨ r = –1 ∨ r = 4

y = c₁x⁻² + c₂x⁻¹ + c₃x⁴

2. x³y''' – x²y'' – 6xy' + 18y = 0

Berikut persamaan karakteristik:

r(r – 1)(r – 2)y – r(r – 1)y – 6ry + 18y = 0

(r³ – 3r² + 2r)y – (r² – r)y – 6ry + 18y = 0

(r³ – 4r² – 3r + 18)y = 0

(r + 2)(r – 3)² = 0

r = –2 ∨ r = 3

karena r = 3 berulang 2 kali, solusinya dikalikan c₂t + c₃ = c₂ln(x) + c₃

y = c₁x⁻² + [c₂ln(x) + c₃]x³

3. x³y''' – x²y'' + 2xy' – 2y = x³

• Solusi homogen

Berikut persamaan karakteristik:

r(r – 1)(r – 2)y – r(r – 1)y + 2ry – 2y = 0

(r³ – 3r² + 2r)y – (r² – r)y + 2ry – 2y = 0

(r³ – 4r² + 5r – 2)y = 0

(r – 1)²(r – 2) = 0

r = 1 ∨ r = 2

karena r = 1 berulang 2 kali, solusinya dikalikan c₁t + c₂ = c₁ln(x) + c₂

yₕ = [c₁ln(x) + c₂]x + c₃x²

• Solusi khusus

F(t) = x³ = e³ᵗ, yₚ = c₄e³ᵗ → ryₚ = 3c₄e³ᵗ, r²yₚ = 9c₄e³ᵗ, r³yₚ = 27c₄e³ᵗ, masukkan ke persamaan awal

(r³ – 4r² + 5r – 2)yₚ = e³ᵗ

(27 – 4.9 + 5.3 – 2)c₄e³ᵗ = e³ᵗ, bagi masing-masing ruas dengan e³ᵗ

4c₄ = 1, bagi masing-masing ruas dengan 4

c₄ = ¼

yₚ = ¼e³ᵗ = ¼x³

• Solusi total

y = yₕ + yₚ = [c₁ln(x) + c₂]x + c₃x² + ¼x³

4. (x + 2)²y'' – (x + 2)y' – 3y = 0

Misal v = x + 2 → dv = dx → v'(x) = 1 → y'(x) = y'(v)·v'(x) = y'(v)·1 = y'(v)

→ y''(x) = [y'(v)]'(x) = y''(v)·v'(x) = y''(v)

v²y'' – vy' – 3y = 0

Berikut persamaan karakteristik:

r(r – 1)y – ry – 3y = 0

(r² – 2r – 3)y = 0

(r + 1)(r – 3) = 0

r = –1 ∨ r = 3

y = c₁v⁻¹ + c₂v³, ingat kembali v = x + 2

y = c₁(x + 2)⁻¹ + c₂(x + 2)³

5. (2x – 3)²y'' – 6(2x – 3)y' + 12y = 0

Misal v = 2x – 3 → dv = 2dx → v'(x) = 2 → y'(x) = y'(v)·v'(x) = y'(v)·2 = 2y'(v)

→ y''(x) = [2y'(v)]'(x) = 2y''(v)·v'(x) = 2y''(v)·2 = 4y''(v)

4v²y'' – 12vy' + 12y = 0, bagi masing-masing ruas dengan 4

v²y'' – 3vy' + 3y = 0

Berikut persamaan karakteristik:

r(r – 1)y – 3ry + 3y = 0

(r² – 4r + 3)y = 0

(r – 1)(r – 3) = 0

r = 1 ∨ r = 3

y = c₁v + c₂v³, ingat kembali v = 2x – 3

y = c₁(2x – 3) + c₂(2x – 3)³