Sifat-Sifat Aljabar Limit Fungsi

1. Keterbatasan pada Persekitaran

A. Definisi Keterbatasan pada Persekitaran

Misalkan A ⊆ ℝ dan f : A → ℝ serta c titik limit dari A. Fungsi f dikatakan terbatas pada persekitaran dari c jika terdapat persekitaran-δ V_δ(c) dan konstanta M > 0 sehingga |f(x)| ≤ M untuk setiap x ∈ A∩V_δ(c).

B. Hubungan Keberadaan Limit dengan Keterbatasan pada Persekitaran

Misalkan A ⊆ ℝ dan f : A → ℝ mempunyai limit di c, maka f terbatas pada persekitaran dari c.

Bukti:

Jika  maka untuk ε = 1 terdapat δ > 0 sehingga untuk 0 < |x – c| < δ, berlaku |f(x) – L| < 1. Akibatnya jika 0 < |x – c| < δ maka

|f(x)| = |f(x) – L + L| ≤ |f(x) – L| + |L| < 1 + |L|.

Jadi, jika x ∈ A ∩ Vδ(c), x ≠ c maka |f(x)| < 1 + |L|. Akibatnya, jika c ∉ A, maka dapat diambil M = 1 + |L|, sedangkan jika c ∈ A maka dapat diambil M = max{1 + |L|, |f(c)|}. Hal ini menunjukkan bahwa f terbatas pada persekitaran dari c.

2. Operasi Aljabar Limit Fungsi

A. Definisi Operasi Aljabar Fungsi

Misalkan A ⊆ ℝ, dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke ℝ. Penjumlahan, selisih dan perkalian pada A ke ℝ didefinisikan sebagai fungsi dengan

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

(f – g)(x) = f(x) – g(x)

(fg)(x) = f(x)g(x)

untuk semua x ∈ A. Lebih lanjut, jika b ∈ ℝ, didefinisikan perkalian bf sebagai

(bf)(x) = bf(x)

Jika h(x) ≠ 0, x ∈ A didefinisikan pembagian f/h dengan

(f/h)(x) = f(x)/h(x)

untuk semua x ∈ A.

B. Sifat-Sifat Aljabar Limit Fungsi

Misalkan A ⊆ ℝ, dan f, g fungsi yang terdefinisi pada A ke ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A. Lebih lanjut, misalkan b ∈ ℝ, 

• Bukti untuk penjumlahan dan pengurangan

Ambil sebarang ε > 0.

, berarti (∃δ₁ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ₁ ⇒ |f(x) – L| < ε/2

, berarti (∃δ₂ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ₂ ⇒ |g(x) – M| < ε/2

Pilih δ = min{δ₁, δ₂} sehingga (∀x ∈ A) berlaku

0 < |x – c| < δ ⇒ |(f + g)(x) – (L + M)| = |f(x) – L + g(x) – M| ≤ |f(x) – L| + |g(x) – M| < ε/2 + ε/2 = ε.

Telah terbukti untuk aturan penjumlahan. Dikarenakan g fungsi real, g memiliki invers terhadap operasi penjumlahan, yaitu –g, sehingga f – g dapat dinyatakan sebagai f + (–g). Menurut aturan penjumlahan, untuk x mendekati c mengakibatkan f + (–g) mendekati L + (–M) = L – M. ∎

• Bukti untuk perkalian sesama fungsi, perkalian skalar dengan fungsi, dan pembagian

Ambil sebarang ε > 0.

, berarti (∃δ₁, δ₂, K₁ > 0) ∋ (∀x ∈ A∩V_δ1(c)). |f(x)| ≤ K₁ dan

(∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ₂ ⇒ |f(x) – L| < ε/2K

, berarti (∃δ₃, δ₄, K₂ > 0) ∋ (∀x ∈ A∩V_δ3(c)). |f(x)| ≤ K₂ dan

(∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ₄ ⇒ |g(x) – M| < ε/2K

Pilih δ = min{δ₁, δ₂, δ₃, δ₄} dan K = min{K₁, K₂}, sehingga (∀x ∈ A) berlaku

0 < |x – c| < δ ⇒ |(fg)(x) – LM| = |f(x)g(x) – Lg(x) + Lg(x) – LM| = |g(x)[f(x) – L] + L[g(x) – M]|

≤ |g(x)|·|f(x) – L| + |L|·|g(x) – M| < K·ε/2K + K·ε/2K = ε.

Telah terbukti untuk aturan perkalian.

Kasus khusus untuk g fungsi konstan bernilai b, berarti (∀x ∈ A). g(x) = b, akibatnya untuk x mendekati c, nilai g mendekati b.

Lakukan perkalian fungsi, diperoleh (∀x ∈ A). g·f = b·f. Ini berarti bf = gf. Menurut aturan perkalian, untuk x mendekati c, nilai bf mendekati bL.

Dikarenakan h fungsi taknol dan limitnya taknol, h memiliki invers terhadap operasi perkalian, yaitu 1/h, sehingga f/h dapat dinyatakan sebagai f.(1/h). Menurut aturan perkalian, untuk x mendekati c, nilai f.(1/h) konvergen ke L.(1/H) = L/H. ∎

C. Teorema Pembandingan Limit Fungsi

Misalkan A ⊆ ℝ, dan f fungsi yang terdefinisi pada A ke ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A. Jika (∀x ∈ A). a ≤ f(x) ≤ b danada, maka a ≤≤ b.

Bukti:

Jika, maka menurut kriteria barisan untuk limit, jika (xₙ) adalah barisan bilangan real sedemikian rupa sehingga c ≠ xₙ ∈ A untuk semua n ∈ ℕ dan jika barisan (xₙ) konvergen ke c, maka barisan (f(xₙ)) konvergen ke L. Karena a ≤ f(xₙ) ≤ b untuk semua n ∈ ℕ, maka menurut teorema pembandingan barisan diperoleh a ≤ L ≤ b.

Q.E.D.

D. Teorema Apit

Misalkan A ⊆ ℝ, f fungsi yang terdefinisi pada A ke ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A. Jika f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x ∈ A, x ≠ c dan jika

maka

Bukti:

Ambil sebarang ε > 0.

Diberikan f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk setiap x ∈ A, x ≠ c, tambahkan masing-masing ruas dengan –L

f(x) – L ≤ g(x) – L ≤ h(x) – L ...(i)

Diberikan untuk x mendekati c, nilai f dan h masing-masing mendekati L, berarti

(∃δ₁, δ₂ > 0) ∋ (∀x ∈ A). 0 < |x – c| < δ₁ ⇒ –ε < f(x) – L < ε ∧ 0 < |x – c| < δ₂ ⇒ –ε < h(x) – L < ε ...(ii)

Pilih δ = min{δ₁, δ₂}, sehingga menurut (i) dan (ii), (∀x ∈ A) berlaku

0 < |x – c| < δ₁ ⇒ –ε < f(x) – L ≤ g(x) – L ≤ h(x) – L < ε ⇔ |g(x) – L| < ε.

Jadi, untuk x mendekati c, nilai g juga mendekati L. ∎

E. Limit Fungsi Polinomial dan Rasional

Dengan memanfaatkan sifat-sifat aljabar limit fungsi, kita memperoleh:

• Misal p fungsi polinomial, maka nilai limit sama dengan nilai fungsi.

• Misal f(x) = p(x)/q(x), dengan p dan q fungsi polinomial. Jika q(x) ≠ 0, maka nilai limit sama dengan nilai fungsi.

F. Kesamaan Limit karena Kesamaan Nilai Fungsi di Sekitarnya

Misalkan A ⊆ ℝ, f fungsi yang terdefinisi pada A ke ℝ, dan misalkan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A. Jika f(x) = g(x) untuk setiap x ∈ A, x ≠ c, dan, maka.

Bukti:

Ambil sebarang ε > 0.

Diberikan , berarti (∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ A) berlaku

0 < |x – c| < δ ⇒ |g(x) – L| = |f(x) – L| < ε.

Jadi, untuk x mendekati c, nilai g juga mendekati L. ∎

Keterangan:

Teorema ini menyatakan bahwa jika dua fungsi f dan g selalu memiliki nilai yang sama di dekat c (meski mungkin berbeda di c), maka f dan g memiliki limit yang sama di c.

Contoh Soal

1. Buktikan bahwa

Perhatikan bahwa |cos(1/x)| < 1 ⇔ –1 < cos(1/x) < 1, kalikan masing-masing ruas dengan x

–x < x·cos(1/x) < x, untuk x > 0 dan x < x·cos(1/x) < –x, untuk x < 0, sehingga secara umum berlaku:

–|x| < x·cos(1/x) < |x|, untuk x ≠ 0.

Untuk x mendekati 0, kita tahu bahwa baik –|x| maupun |x| keduanya mendekati 0, sehingga menurut teorema apit, x·cos(1/x) juga mendekati 0.

2. Misal f: ℝ → ℝ dengan (∀x, y ∈ ℝ). f(x + y) = f(x) + f(y) dan f memiliki limit di 0. Buktikan bahwa limit f di 0 adalah 0.

Diberikan (∀x, y ∈ ℝ). f(x + y) = f(x) + f(y), masukkan y = x

(∀x ∈ ℝ). f(2x) = f(x + x) = f(x) + f(x) = 2f(x)

Misal u = 2x, untuk u → 0 berakibat x → 0, sehingga

Kita peroleh 2L = L, kurangi masing-masing ruas dengan L

L = 0. ∎