Sistem Persamaan Diferensial Linier Homogen Berkoefisien Konstan

1. Pengenalan

Di halaman ini kita akan membahas sistem linear homogen

dx/dt = a₁x + b₁y

dy/dt = a₂x + b₂y

dimana koefisien a₁, b₁, a₂, dan b₂ adalah konstanta real. Kita mencari solusi dari sistem ini; tapi bagaimana kita harus melanjutkannya? Ingatlah kembali bahwa kita mencari dan menemukan solusi eksponensial dari sistem linear tunggal berderajat n dengan koefisien konstan. Mengingat analogi yang ada antara sistem linear dan persamaan diferensial tingkat-tinggi tunggal, kita sekarang mungkin bisa mencoba menemukan solusi eksponensial dari sistem tersebut. Oleh karena itu mari kita coba tentukan solusi dalam bentuk

x = Ae^λt 

y = Be^λt 

dimana A, B, dan λ adalah konstanta. Jika kita substitusikan bentuk eksponensial ke dalam persamaan awal, kita mendapatkan

Aλe^λt = a₁Ae^λt + b₁Be^λt 

Bλe^λt = a₂Ae^λt + b₂Be^λt 

Persamaan-persamaan ini mengarah langsung ke sistem

(a₁ – λ)A + b₁B = 0

a₂A + (b₂ – λ)B = 0

dalam variabel-variabel yang tidak diketahui A dan B. Sistem ini secara jelas memiliki solusi trivial A = 0, B = 0. Tapi ini hanya akan mengarah pada solusi trivial x = 0, y = 0. Oleh karena itu kita mencari solusi non-trivial dari sistem diatas. Kondisi yang diperlukan dan cukup agar sistem ini memiliki solusi non-trivial adalah bahwa determinannya

Mengekspansi determinan ini kita akan sampai pada persamaan kuadrat dalam variabel λ. Persamaan ini disebut persamaan karakteristik yang terkait dengan sistem diatas. Akar-akarnya λ₁ dan λ₂ disebut akar-akar karakteristik. Jika pasangan (x, y) = (Ae^λt, Be^λt) adalah solusi dari sistem diatas, maka λ yang diperoleh harus menjadi salah satu dari akar-akar ini. Misalkan λ = λ₁. Kemudian dengan mensubstitusikan λ = λ₁ ke dalam sistem aljabar dalam A dan B, kita mungkin mendapatkan solusi non-trivial A₁, B₁ dari sistem aljabar ini. Dengan nilai-nilai A₁, B₁ ini, kita memperoleh solusi non-trivial

x = A₁e^λ₁t 

y = B₁e^λ₁t 

dari sistem yang diberikan.

Tiga kasus sekarang harus dipertimbangkan:

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah real berbeda.

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah kompleks konjugat.

• Akar-akar λ₁ dan λ₂ adalah real sama.

2. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Real Berbeda

Untuk kasus dimana akar-akar λ₁ dan λ₂, dari persamaan karakteristik yang terkait dengan sistem adalah real berbeda. Sistem tersebut memiliki dua solusi non-trivial yang bebas linier berbentuk

x = A₁e^λ₁t, dan x = A₂e^λ₂t 

y = B₁e^λ₁t, dan y = B₂e^λ₂t 

dimana A₁, B₁, A₂, dan B₂ adalah konstanta tertentu. Solusi umum dari sisperdif tersebut dengan demikian dapat ditulis

x = c₁A₁e^λ₁t + c₂A₂e^λ₂t 

y = c₁B₁e^λ₁t + c₂B₂e^λ₂t 

dimana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

dengan nilai awal x(0) = 5; y(0) = 5.
Untuk menentukan solusi sisperdif ini, mula-mula misal x = Ae^λt dan y = Be^λt, masukkan ke sisperdif tersebut, akan diperoleh:

Aλe^λt = 3Ae^λt + 4Be^λt 

Bλe^λt = 6Ae^λt + 5Be^λt 

bagi masing-masing dengan e^λt, diperoleh

Aλ = 3A + 4B ⇔ (3 – λ)A + 4B = 0 ...(i)

Bλ = 6A + 5B ⇔ 6A + (5 – λ)B = 0 ...(ii)

dengan ini diperoleh persamaan karakteristik berikut:

(λ + 1)(λ – 9) = 0

λ = –1 ∨ λ = 9

• Untuk λ = –1, masukkan ke salahsatu dari persamaan (i) maupun (ii), misal dipilih (i)

(3 + 1)A + 4B = 4A + 4B = 0 ⇔ A = –B

Misal dipilih A = 1, diperoleh B = –1, sehingga diperoleh solusi

x = e⁻ᵗ, y = –e⁻ᵗ

• Untuk λ = 9, masukkan ke salahsatu dari persamaan (i) maupun (ii), misal dipilih (i)

(3 – 9)A + 4B = –6A + 4B = 0 ⇔ 3A = 2B

Misal dipilih A = 2, diperoleh B = 3, sehingga diperoleh solusi

x = 2e⁹ᵗ, y = 3e⁹ᵗ

• Solusi total

x = c₁e⁻ᵗ + 2c₂e⁹ᵗ, y = –c₁e⁻ᵗ + 3c₂e⁹ᵗ

Masukkan nilai awal x(0) = 5 dan y(0) = 5, diperoleh SPL berikut:

c₁ + 2c₂ = 5

–c₁ + 3c₂ = 5

selesaikan SPL ini dan diperoleh c₁ = 1, c₂ = 2.

Jadi, solusi MNA ini adalah

x = e⁻ᵗ + 4e⁹ᵗ, y = –e⁻ᵗ + 6e⁹ᵗ

3. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Kompleks Konjugat

Untuk kasus dimana akar-akar λ₁ dan λ₂ dari persamaan karakteristik yang terkait dengan sistem adalah bilangan kompleks konjugat a ± bi. Sistem tersebut memiliki dua solusi bebas linier berbentuk

x = eᵃᵗ[A₁cos(bt) – A₂sin(bt)], dan x = eᵃᵗ[A₂cos(bt) + A₁sin(bt)],

y = eᵃᵗ[B₁cos(bt) – B₂sin(bt)], dan y = eᵃᵗ[B₂cos(bt) + B₁sin(bt)],

di mana A₁, A₂, B₁, dan B₂ adalah konstanta real tertentu. Solusi umum dari sisperdif tersebut dengan demikian dapat ditulis

x = eᵃᵗ[c₁(A₁ cos bt – A₂ sin bt) + c₂(A₂ cos bt + A₁ sin bt)],

y = eᵃᵗ[c₁(B₁ cos bt – B₂ sin bt) + c₂(B₂ cos bt + B₁ sin bt)],

di mana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

dx/dt = x – 4y, dy/dt = x + y

Untuk menentukan solusi sisperdif ini, mula-mula misal x = Ae^λt dan y = Be^λt, masukkan ke sisperdif tersebut, akan diperoleh:

(1 – λ)A – 4B = 0 ...(i)

A + (1 – λ)B = 0 ...(ii)

dengan ini diperoleh persamaan karakteristik berikut:

(1 – λ)² + 4 = 0

(1 – λ)² = –4

1 – λ = ±2i

λ = 1 ± 2i

Pilih λ = 1 + 2i, masukkan ke (ii)

A + [1 – (1 + 2i)]B = 0 ⇔ A – 2iB = 0 ⇔ A = 2iB

Misal dipilih B = 1, diperoleh A = 2i, diperoleh solusi

x = Ae^λt = 2i·e^(1+2i)t = 2i·eᵗ[cos(2t) + i·sin(2t)] = 2eᵗ[i·cos(2t) – sin(2t)]

y = Be^λt = e^(1+2i)t = eᵗ[cos(2t) + i·sin(2t)]

berikut bagian real dan imajiner dari masing-masing:

Re(x) = –2eᵗ·sin(2t), Im(x) = 2eᵗ·cos(2t)

Re(y) = eᵗ·cos(2t), Im(y) eᵗ·sin(2t)

Solusi totalnya adalah:

x = c₁·Re(x) + c₂·Im(x) = 2eᵗ[–c₁·sin(2t) + c₂·cos(2t)]

y = c₁·Re(y) + c₂·Im(y) = eᵗ[c₁·cos(2t) + c₂·sin(2t)]

4. Kasus untuk λ₁ dan λ₂ Real Sama

Untuk kasus dimana akar-akar λ₁ dan λ₂ dari persamaan karakteristik yang terkait dengan sistem adalah real sama. Misalkan λ menunjukkan nilai umum dari akar-akar tersebut. Sisperdif tersebut memiliki dua solusi yang bebas linier berbentuk

x = Ae^λt dan x = (A₁t + A₂)e^λt 

y = Be^λt dan y = (B₁t + B₂)e^λt 

dimana A, B, A₁, A₂, B₁, dan B₂ adalah konstanta tertentu, A₁ dan B₁ tidak keduanya nol, dan B₁/A₁ = B/A. Solusi umum dari sisperdif tersebut dengan demikian dapat ditulis

x = c₁Ae^λt + c₂(A₁t + A₂)e^λt 

y = c₁Be^λt + c₂(B₁t + B₂)e^λt 

dimana c₁ dan c₂ adalah konstanta sembarang.

Sebagai contoh diberikan sisperdif berikut:

dx/dt = 5x – y, dy/dt = 4x + y

Untuk menentukan solusi sisperdif ini, mula-mula misal x = Ae^λt dan y = Be^λt, masukkan ke sisperdif tersebut, akan diperoleh:

(5 – λ)A – B = 0 ...(i)

4A + (1 – λ)B = 0 ...(ii)

dengan ini diperoleh persamaan karakteristik berikut:

(3 – λ)² = 0

λ = 3, masukkan ke (i)

• Solusi pertama

2A – B = 0 ⇔ B = 2A

Pilih A = 1, diperoleh B = 2, sehingga diperoleh solusi:

x₁ = e³ᵗ, y₁ = 2e³ᵗ

• Solusi kedua

Selanjutnya akan dicari solusi kedua sebagai berikut:

x₂ = (A₁t + A₂)e³ᵗ, y₂ = (B₁t + B₂)e³ᵗ, masukkan ke persamaan awal, diperoleh:

(3A₁t + 3A₂ + A₁)e³ᵗ = 5(A₁t + A₂)e³ᵗ – (B₁t + B₂)e³ᵗ

(3B₁t + 3B₂ + B₁)e³ᵗ = 4(A₁t + A₂)e³ᵗ + (B₁t + B₂)e³ᵗ

Sederhanakan menjadi

(2A₁ – B₁)t + (2A₂ – A₁ – B₂) = 0

(4A₁ – 2B₁)t + (4A₂ – B₁ – 2B₂) = 0

Agar persamaan-persamaan ini menjadi identitas, kita harus memiliki

2A₁ – B₁ = 0, 2A₂ – A₁ – B₂ = 0

4A₁ – 2B₁ = 0, 4A₂ – B₁ – 2B₂ = 0

Perhatikan

2A₁ – B₁ = 0 ⇔ B₁ = 2A₁

misal dipilih A₁ = 1, diperoleh B₁ = 2.

2A₂ – A₁ – B₂ = 0 ⇔ 2A₂ – 1 – B₂ ⇔ 2A₂ – 1 = B₂

misal dipilih A₂ = 0, diperoleh B₂ = 0 – 1 = –1

Jadi, solusi kedua adalah:

x₂ = te³ᵗ, y₂ = (2t – 1)e³ᵗ

• Solusi total

x = c₁x₁ + c₂x₂ = c₁e³ᵗ + c₂te³ᵗ

y = c₁y₁ + c₂y₂ = 2c₁e³ᵗ + c₂(2t – 1)e³ᵗ