Bilangan Kompleks: Muqodimah

1. Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dengan (a + bi), di mana a dan b adalah bilangan-bilangan real dan i = √(−1).

Misal z = a + bi, berikut keterangannya:

a = Re(z) = bagian real dari z

b = Im(z) = bagian imajiner dari z

i = √(−1) = satuan imajiner

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam bilangan kompleks, yaitu:

A. Himpunan bilangan kompleks

ℂ = {z | z = a + bi; a, b ∈ ℝ; i² = −1}

B. Bilangan z dengan Im(z) = 0 adalah bilangan real

oleh karena itu, ℝ ⊂ ℂ.

C. Bilangan z dengan Re(z) = 0 adalah bilangan imajiner murni

D. Kesamaan bilangan kompleks

Dua bilangan kompleks (a + bi) dan (c + di) dikatakan sama jika a = c dan b = d.

E. Konjugat / Sekawan

Sekawan (conjugate) kompleks dari bilangan kompleks z = (a + bi) adalah z̄ = (a − bi).

2. Operasi Penjumlahan dan Perkalian Bilangan Kompleks

A. Penjumlahan

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, kita dapat dengan mudah melakukan penjumlahan bilangan kompleks.

z₁ + z₂ = (a + c) + (b + d)i

Penjumlahan bilangan kompleks dengan menjumlahkan bagian yang bertepatan, bagian real dengan bagian real dan bagian kompleks dengan bagian kompleks.

B. Perkalian

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, hasil kalinya adalah:

z₁z₂ = (a + bi)(c + di)

= ac + adi + bci + bdi²

= ac − bd + (ad + bc)i

3. Identitas, Invers, Pengurangan, dan Pembagian Bilangan Kompleks

A. Identitas Penjumlahan

Ingat kembali bahwa elemen identitas penjumlahan bilangan real adalah 0, ini juga berlaku untuk bilangan kompleks, dimana

(a + bi) + 0 = (a + bi) = (0 + 0i) = (a + 0) + (b + 0)i = a + bi

B. Identitas Perkalian

Ingat kembali bahwa elemen identitas perkalian bilangan real adalah 1, ini juga berlaku untuk bilangan kompleks, dimana

(a + bi)·1 = (a + bi)·1 = a·1 + (b·1)i = a + bi

C. Invers Penjumlahan

Misal bilangan kompleks z = a + bi, invers z terhadap operasi penjumlahan adalah −z = −a − bi. Perhatikan:

z + (−z) = a + bi + (−a − bi) = (a − a) + (b − b)i = 0 + 0i = 0

Invers terhadap operasi penjumlahan disebut sebagai "negatif" atau "lawan".

D. Invers Perkalian

Bilangan kompleks taknol selalu memiliki invers terhadap perkalian. Perhatikan bahwa misal z = a + bi dengan z merupakan bilangan kompleks taknol, berarti a + bi ≠ 0 + 0i, ini setara dengan a ≠ 0 ∨ b ≠ 0, akibatnya

a² + b² ∈ ℝ⁺ ⊂ ℝ, sehingga jelas bahwa a² + b² ≠ 0.

Kita peroleh bahwa 1/(a² + b²) ∈ ℝ⁺ ⊂ ℝ. Selanjutnya invers dari z terhadap operasi perkalian adalah:

Perhatikan:

Invers terhadap operasi perkalian disebut sebagai "kebalikan" atau "resiprok".

E. Pengurangan

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, kita definisikan pengurangan bilangan kompleks:

z₁ − z₂ = z₁ + (−z₂) = (a + bi) + (−c − di) = (a − c) + (b − d)i

F. Pembagian

Misal z₁ = a + bi dan z₂ = c + di, dengan z₂ ≠ 0, kita definisikan pembagian bilangan kompleks:

4. Sifat-Sifat Dasar Operasi Bilangan Kompleks

A. Sifat Komutatif Penjumlahan

z₁ + z₂ = z₂ + z₁

B. Sifat Komutatif Perkalian

z₁·z₂ = z₂·z₁

C. Sifat Asosiatif Penjumlahan

z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃

D. Sifat Asosiatif Perkalian

z₁·(z₂·z₃) = (z₁·z₂)·z₃

E. Sifat Distributif

z₁·(z₂ + z₃) = z₁·z₂ + z₁·z₃

F. Dobel Konjugat

G. Pengenaan Konjugat pada Operasi

H. Bagian Real dan Bagian Imajiner

Jika dikalikan dengan 2 akan diperoleh z + z̄ = 2Re(z).

I. Hasil Kali dengan Konjugat

Misal z = a + bi, hasil kali z·z̄ = a² + b².

5. Nilai Mutlak dan Sifat-Sifat Dasar

A. Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak atau modulus bilangan kompleks z = a + bi, dinyatakan |z|, adalah

Sebelum membahas lebih lanjut nilai mutlak, perlu diketahui bahwa tidak ada relasi urutan bilangan kompleks, tetapi ada relasi urutan nilai mutlak, karena nilai mutlak merupakan bilangan real.

B. Kenonnegatifan Nilai Mutlak

|z| ≥ 0

lebih lanjut |z| = 0 jika dan hanya jika z = 0.

C. Kesamaan Nilai Mutlak Lawan

|−z| = |z|

D. Kesamaan Nilai Mutlak Konjugat

|z̄| = z

E. Hasil Kali dengan Konjugat

z·z̄ = |z|²

Perhatikan bahwa misal z = a + bi, konjugatnya adalah z̄ = a − bi, sehingga

z·z̄ = (a + bi)(a − bi) = a² − abi + abi − b²i² = a² + b² = |z|².

F. Nilai Mutlak Perkalian dan Pembagian

|z₁·z₂| = |z₁|·|z₂|

|z₁/z₂| = |z₁|/|z₂|

G. Ketaksamaan Bagian Real dan Bagian Imajiner

Re(z) ≤ |Re(z)| ≤ |z|

Im(z) ≤ |Im(z)| ≤ |z|

H. Ketaksamaan Segitiga

||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|

Bukti:

|z₁ + z₂|² = (z₁ + z₂)(z̄₁ + z̄₂) = z₁z̄₁ + z₁z̄₂ + z₂z̄₁ + z₂z̄₂ = |z₁|² + |z₂|² + 2Re(z₁z̄₂) ≤ |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁z̄₂|

= |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁||z̄₂| = |z₁|² + |z₂|² + 2|z₁||z₂| = (|z₁| + |z₂|)², akarkan masing-masing ruas

|z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, selanjutnya perhatikan

|z₁| = |z₁ + z₂ + (−z₂)| ≤ |z₁ + z₂| + |−z₂| = |z₁ + z₂| + |z₂|, kurangi masing-masing ruas dengan |z₂|

|z₁| − |z₂| ≤ |z₁ + z₂|, jika cara yang sama dikenakan untuk z₂, akan diperoleh

|z₂| − |z₁| ≤ |z₁ + z₂|, balik tanda

|z₁| − |z₂| ≥ −|z₁ + z₂|, sehingga diperoleh

−|z₁ + z₂| ≤ |z₁| − |z₂| ≤ |z₁ + z₂| ⇔ ||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ + z₂|

Jadi, ||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|.