Daerah pada Bidang Kompleks

1. Titik di Tak Hingga dan Bola Riemann

A. Titik Tak Hingga (∞) dan Bidang Kompleks yang Diperluas (ℂ*)

Dalam sistem bilangan real, kita mengenal dua titik di tak hingga, yaitu minus tak hingga dan positif tak hingga, yang tidak mewakili bilangan real. Garis real yang dilengkapi dengan kedua titik ini dinamakan garis real diperluas.

Berbeda dengan sistem bilangan real, dalam sistem bilangan kompleks, kita hanya mengenal satu titik di tak hingga yang diberi lambang ∞.

Agar fungsi w = 1/z mempunyai kawan untuk setiap titik z di bidang kompleks, maka bidang kompleks dilengkapi satu titik tak hingga. Titik tak hingga ini didefinisikan sebagai kawan untuk z = 0. Bidang kompleks yang dilengkapi satu titik tak hingga ini dinamakan bidang kompleks diperluas, yang diberi notasi ℂ*.

Melalui fungsi w = 1/z, terjadi korespondensi satu-satu dari ℂ* kepada ℂ*.

Khususnya, titik z = 0 berkawankan titik w = ∞ dan titik z = ∞ berkawankan titik w = 0.

B. Proyeksi Stereografik dan Bola Riemann

Cara lain untuk menjelaskan titik tak hingga digunakan cara yang dinamakan proyeksi stereografik.

Bidang kompleks difikirkan sebagai bidang yang melalui khatulistiwa suatu bola satuan yang pusatnya di titik z = 0.

Titik P ditentukan sebagai titik potong garis penghubung titik z pada bidang kompleks dengan kutub utara N pada luasan bola.

Setiap titik z di bidang kompleks dikawankan dengan tepat satu titik P pada luasan bola.

Dengan memberikan kawan untuk N pada luasan bola ini satu titik tak hingga, maka terjadilah korespondensi satu-satu antara titik-titik pada luasan bola dan bidang kompleks yang diperluas.

Bola ini dikenal dengan nama Bola Riemann, sedangkan korespondensi antara titik pada bidang dan titik pada luasan bola dinamakan proyeksi stereografik.

Misal suatu titik P di permukaan bola dengan lintang φ dan bujur λ, misal bilangan kompleks yang berkorespondensi dengan titik P adalah z, berikut ini cara menentukan z:

sedangkan untuk mencari φ dengan diketahui z = a + bi, berikut ini rumusnya:

sedangkan λ adalah:

C. Sifat Invers Terhadap Lingkaran (Contoh Fungsi w = 1/z)

Dalam fungsi w = 1/z, terdapat sifat inversi:

• Jika titik z di dalam lingkaran L, maka titik w terletak di luar lingkaran L.

• Jika z di luar lingkaran L, maka w di dalam lingkaran L.

• Jika z suatu titik pada lingkaran L, maka w juga pada lingkaran L yang terletak simetrik dengan z terhadap sumbu Ox.

2. Istilah-Istilah Dasar

A. Persekitaran / Neighborhood

Untuk suatu bilangan kompleks z₀ dan suatu bilangan positif r, yang dimaksud kitar atau himpunan sekitar titik z₀ dengan radius r adalah himpunan titik z yang jaraknya dari z₀ kurang dari r, yang diberi notasi N(z₀, r). Dituliskan:

N(z₀, r) = {z ∈ ℂ : |z – z₀| < r}

Kitar dari z₀ yang dihapuskan darinya z₀ disebut sebagai "kitar yang dihapuskan".

B. Titik Limit

Titik z₀ dinamakan titik limit atau titik akumulasi himpunan E, jika setiap kitar titik z₀ memuat paling sedikit satu titik p dengan p ≠ z₀ dan p ∈ E. Dituliskan:

(∀r > 0). N(z₀, r)\{z₀} ∩ E ≠ ∅.

C. Titik Terasing

Titik terasing dari suatu himpunan adalah anggota himpunan yang bukan titik limit. Misal z₀ merupakan titik terasing dari himpunan E, kita dapat menuliskan:

z₀ ∈ E ∧ (∃r > 0). N(z₀, r)\{z₀} ∩ E = ∅.

D. Titik Interior

Titik z₀ disebut titik interior himpunan E jika terdapat suatu kitar titik z₀ yang merupakan himpunan-bagian dari E. Definisi ini bisa dituliskan:

(∃r > 0). N(z₀, r) ⊆ E

E. Himpunan Terbuka

Himpunan E disebut terbuka jika setiap anggota E adalah titik interior E. Dituliskan:

(∀z ∈ E)(∃r > 0). N(z₀, r) ⊆ E

F. Himpunan Tertutup

Himpunan F dikatakan tertutup jika F memuat semua titik limitnya, dituliskan

(∀w). [(∀r > 0). N(w, r)\{w} ∩ F ≠ ∅] ⇒ w ∈ F, kontraposisinya

(∀w). w ∉ F ⇒ (∃r > 0). N(w, r)\{w} ∩ F = ∅.

Jadi F tidak tertutup jika paling sedikit terdapat satu titik limit F yang bukan anggota F.

Penutup dari himpunan F adalah himpunan tertutup yang memuat semua titik-titik anggota F dan titik-titik limitnya.

G. Komplemen

Komplemen himpunan E yang dinyatakan dengan E^C atau E̅ adalah himpunan titik-titik yang bukan anggota E.

H. Titik Eksterior

Titik q disebut titik eksterior himpunan E jika q titik interior komplemen E (E^C).

I. Titik Perbatasan dan Batas

Titik z₀ disebut titik perbatasan himpunan E jika setiap kitarnya memuat baik titik anggota E maupun titik bukan anggota E.

Jadi titik perbatasan E adalah bukan titik interior E dan juga bukan titik eksterior himpunan E. Titik terasing E adalah suatu titik perbatasan E.

Himpunan semua titik perbatasan dari E disebut batas dari E.

J. Himpunan Terhubung

Himpunan terbuka E dikatakan terhubung jika setiap pasang titiknya dapat dihubungkan oleh lintasan poligonal (garis patah), yang terdiri atas penggal garis yang cacahnya berhingga dan yang seluruhnya terletak di dalam E.

Himpunan yang terbuka dan terhubung disebut suatu domain.

K. Suatu daerah adalah suatu himpunan terbuka tak kosong atau suatu himpunan terbuka dengan sebagian atau seluruh titik-titik perbatasannya.

L. Himpunan Terbatas

Himpunan E dikatakan terbatas jika M > 0 sedemikian sehingga untuk semua titik z ∈ E berlaku |z| < M, dituliskan:

(∃M > 0)(∀z ∈ E). |z| < M

Himpunan yang bukan himpunan terbatas disebut himpunan tak terbatas.

3. Teorema Seputar Daerah pada Bidang Kompleks

A. Keterbukaan Kitar

Setiap kitar merupakan himpunan terbuka.

Bukti:

Misal diberikan kitar berpusat di z₀ dan berjari-jari r, terbentuklah

N(z₀, r) = {z ∈ ℂ : |z – z₀| < r}

Ambil sebarang z ∈ N(z₀, r), berarti |z – z₀| < r.

Misal |z – z₀| = s < r, pilih r₀ = r – s > 0.

Ambil sebarang w ∈ N(z, r₀), menurut ketaksamaan segitiga:

|w – z₀| = |w – z + z – z₀| ≤ |w – z| + |z – z₀| < r₀ + s < r

Ini berarti w ∈ N(z₀, r), sehingga N(z, r₀) ⊆ N(z₀, r).

Jadi, [∀z ∈ N(z₀, r)](∃r₀ > 0). N(z, r₀) ⊆ N(z₀, r). Dengan kata lain N(z₀, r) himpunan terbuka.

B. Keterbukaan dan Ketertutupan Komplemen

E himpunan terbuka jika dan hanya jika E^C tertutup.

Bukti:

(i) Jika E terbuka, maka E^C tertutup

Misal E merupakan himpunan terbuka, semua titiknya merupakan titik interior, sehingga untuk sebarang p ∈ E, selalu merupakan titik interior, sehingga

(∃r > 0). N(p, r) ⊆ E, akibatnya

N(p, r) ∩ E^C = ∅, ini berarti p bukan titik limit dari E^C.

Karena sebarang p ∈ E selalu bukan titik limit dari E^C, dapat dipastikan seluruh titik limit dari E^C selalu merupakan anggota dari E^C. Jadi, E^C himpunan tertutup.

(ii) Jika E^C tertutup, maka E terbuka

Misal E^C himpunan tertutup, semua titik limitnya merupakan anggota, sehingga dapat dipastikan bahwa semua titik yang bukan anggota bukanlah titik limit.

Misal p ∈ E, jelas bahwa p bukan titik limit dari E^C, sehingga

(∃r > 0). N(p, r)\{p} ∩ E^C = ∅.

Ini berarti N(p, r)\{p} ⊆ E, berarti p titik interior dari E.

Karena sebarang p ∈ E selalu merupakan titik interior, E merupakan himpunan terbuka.

C. Keterbukaan dan Ketertutupan Menurut Titik Perbatasan

(i) Himpunan E terbuka jika dan hanya jika E tidak memuat titik perbatasannya.

(ii) Himpunan E tertutup jika dan hanya jika E memuat semua titik perbatasannya.

Bukti:

(i) Ini benar karena titik interior bukanlah titik perbatasan dan titik perbatasan bukanlah titik interior.

(ii) Ini benar karena titik perbatasan dapat merupakan titik limit atau titik terasing.

D. Ketakhinggaan Kitar Titik Limit

Jika z₀ adalah titik limit himpunan E, maka setiap kitar z₀ memuat tak hingga banyak titik anggota E.

Bukti:

Kontraposisi dari teorema ini adalah:

Jika terdapat kitar z₀ memuat berhingga banyak titik anggota E, maka z₀ bukan titik limit E.

Misal terdapat kitar z₀ memuat berhingga banyak titik anggota E, misalkan N(z₀, r) memuat berhingga banyak titik anggota E, yaitu N(z₀, r) ∩ E = {z₁, z₂, ..., zₙ}.

Pilih r₀ = min{|z₀ – z₁|, |z₀ – z₂|, ..., |z₀ – zₙ|} > 0, sehingga

(∃r₀ > 0). N(z₀, r₀)\{z₀} ∩ E = ∅

Jadi, z₀ bukan titik limit E.

Kontraposisinya adalah jika z₀ adalah titik limit himpunan E, maka setiap kitar z₀ memuat tak hingga banyak titik anggota E.

E. Ketiadaan Titik Limit Himpunan Berhingga

Himpunan berhingga tidak memiliki titik limit.

Bukti:

Diberikan E himpunan berhingga. Misal E = {z₁, z₂, ..., zₙ}.

(i) Untuk z ∈ E

Pilih r = min{|zᵢ – zⱼ| : i = 1, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., n; i ≠ j} > 0, sehingga

(∀z ∈ E)(∃r > 0). N(z, r)\{z} ∩ E = ∅

(ii) Untuk z ∉ E

Pilih r = min{|z – z₁|, |z – z₂|, ..., |z – zₙ|} > 0, sehingga

(∀z ∉ E)(∃r > 0). N(z, r)\{z} ∩ E = ∅

Jadi, baik z ∈ E maupun z ∉ E, selalu bukan titik limit dari E.

Akibat: Himpunan berhingga merupakan himpunan tertutup.

4. Contoh Himpunan Terbuka dan Tertutup

A. Contoh himpunan tidak terbuka dan tidak tertutup

Misal E = {1/n : n ∈ ℕ}, himpunan ini tidak tertutup, karena

0 ∉ E, tetapi 0 merupakan titik limit dari E, dimana untuk sebarang r > 0, menurut akibat sifat Archimedes, (∃K ∈ ℕ) ∋ 1/K < r, sehingga

N(0, r)\{0} ∩ E = {1/K, 1/(K + 1), 1/(K + 2), ...} = ∅.

Himpunan ini juga tidak terbuka, dimana 1 ∈ E, tetapi 1 bukan titik interior dari E.

B. Contoh himpunan terbuka dan tidak tertutup

Telah kita ketahui bahwa setiap kitar merupakan himpunan terbuka.

Misal diberikan kitar N(z₀, r) = {z ∈ ℂ : |z – z₀| < r}, titik z₀ + r ∉ N(z₀, r).

Akan tetapi untuk sebarang s > 0, z₀ + r – s ∈ N(z₀, r), ini berarti z₀ + r merupakan titik limit dari N(z₀, r).

Jadi, himpunan ini tidak tertutup, karena z₀ + r ∉ N(z₀, r), tetapi z₀ + r merupakan titik limit dari N(z₀, r).

C. Contoh himpunan tertutup dan tidak terbuka

Telah kita ketahui bahwa setiap kitar merupakan himpunan terbuka, sehingga komplemennya merupakan himpunan tertutup.

Misal diberikan kitar N(z₀, r) = {z ∈ ℂ : |z – z₀| < r}, komplemennya adalah N^C(z₀, r) = {z ∈ ℂ : |z – z₀| ≥ r} merupakan himpunan tertutup.

Perhatikan bahwa z₀ + r ∈ N^C(z₀, r), untuk sebarang s > 0, z₀ + r – s ∉ N^C(z₀, r), ini berarti z₀ + r bukan titik interior.

Jadi, himpunan ini tidak terbuka, karena z₀ + r ∈ N^C(z₀, r) tetapi bukan titik interior.

D. Contoh himpunan terbuka dan tertutup

∅ merupakan himpunan terbuka karena tidak memiliki anggota, juga merupakan himpunan tertutup karena tidak memiliki titik limit.

5. Irisan dan Gabungan Himpunan Terbuka dan Tertutup

A. Keterbukaan irisan dua himpunan terbuka

Irisan dua himpunan terbuka merupakan himpunan terbuka.

Bukti:

Misal E dan F keduanya himpunan terbuka, berarti

(∀e ∈ E)(∃r > 0). N(e, r) ⊆ E dan (∀f ∈ F)(∃r > 0). N(f, r) ⊆ F.

Ambil sebarang a ∈ E ∩ F, berarti a ∈ E ∧ a ∈ F.

a ∈ E, berarti (∃r₁ > 0). N(a, r₁) ⊆ E

a ∈ F, berarti (∃r₂ > 0). N(a, r₂) ⊆ F

Pilih r = min{r₁, r₂}, sehingga N(a, r) ⊆ E ∧ N(a, r) ⊆ F

Ini berarti N(a, r) ⊆ E ∩ F.

∴ (∀a ∈ E ∩ F)(∃r > 0). N(a, r) ⊆ E ∩ F.

B. Keterbukaan gabungan dua himpunan terbuka

Gabungan dua himpunan terbuka merupakan himpunan terbuka.

Bukti:

Misal E dan F keduanya himpunan terbuka, berarti

(∀e ∈ E)(∃r > 0). N(e, r) ⊆ E dan (∀f ∈ F)(∃r > 0). N(f, r) ⊆ F.

Ambil sebarang a ∈ E ∪ F, berarti a ∈ E ∨ a ∈ F.

Untuk a ∈ E, jelas bahwa (∃r > 0). N(a, r) ⊆ E ⊂ E ∪ F. Ini berarti E ∪ F himpunan terbuka.

Sedangkan untuk a ∉ E, diharuskan a ∈ F, sehingga (∃r > 0). N(a, r) ⊆ F ⊂ E ∪ F. Ini berarti E ∪ F himpunan terbuka.

Jadi, baik a ∈ E maupun a ∉ E, selalu E ∪ F himpunan terbuka.

C. Ketertutupan irisan dua himpunan tertutup

Irisan dua himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup.

Bukti:

Misal E dan F keduanya himpunan tertutup, berarti masing-masing memuat titik limitnya.

Ambil sebarang titik limit dari E ∩ F, misal a, berarti a merupakan titik limit dari E, juga F.

Akibatnya a ∈ E ∧ a ∈ F, sehingga a ∈ E ∩ F.

Jadi, E ∩ F memuat semua titik limitnya. Dengan kata lain, E ∩ F himpunan tertutup.

D. Ketertutupan gabungan dua himpunan tertutup

Gabungan dua himpunan tertutup merupakan himpunan tertutup.

Bukti:

Misal E dan F keduanya himpunan tertutup, berarti masing-masing memuat titik limitnya.

Ambil sebarang titik limit dari E ∪ F, misal a, berarti a merupakan titik limit dari E atau F.

Untuk a ∈ E ⊂ E ∪ F, jelas bahwa a ∈ E ∪ F.

Untuk a ∉ E, berarti a bukan titik limit dari E, sehingga diharuskan a merupakan titik limit dari F. Akibatnya a ∈ F ⊂ E ∪ F.

Jadi, baik a ∈ E maupun a ∉ E, selalu a ∈ E ∪ F. Ini berarti E ∪ F himpunan terbuka.