Deret Pangkat

1. Deret Pangkat

Kita dapat mempelajari banyak hal tentang kasus khusus dari deret pangkat. Sebuah deret pangkat dalam x memiliki bentuk

∑(aₙxⁿ) = a₀ + a₁x + a₂x² + ...

(Di sini kita menafsirkan a₀x⁰ sebagai a₀ bahkan jika x = 0.) Kita dapat segera menjawab pertanyaan kita untuk deret pangkat semacam itu.

Contoh:

Untuk nilai x berapa deret pangkat

∑(axⁿ) = a + ax + ax² + ax³ + ...

berkonvergen dan berapa jumlahnya? Asumsikan bahwa a ≠ 0.

Kita sudah mempelajari deret ini dan menyebutnya deret geometri. Deret ini berkonvergen untuk −1 < x < 1 dan memiliki jumlah S(x) yang diberikan oleh

S(x) = a/(1 – x), untuk −1 < x < 1

2. Himpunan Konvergensi

Kita menyebut himpunan di mana sebuah deret pangkat berkonvergen sebagai himpunan konvergensi-nya. Himpunan seperti apa yang bisa menjadi himpunan konvergensi?

Himpunan konvergensi untuk deret pangkat ∑(aₙxⁿ) selalu merupakan sebuah interval dari salah satu dari tiga jenis berikut:

(i) Titik tunggal x = 0.

(ii) Sebuah interval (–R, R), ditambah kemungkinan satu atau kedua titik ujungnya.

(iii) Seluruh garis bilangan real.

Dalam (i), (ii), dan (iii), deret tersebut dikatakan memiliki jari-jari konvergensi 0, R, dan ∞, secara berurutan.

Bukti:

Misalkan deret tersebut berkonvergen pada x = x₁ ≠ 0. Maka lim n→∞ aₙxⁿ₁ = 0, dan dengan demikian pasti ada bilangan N sedemikian rupa sehingga |aₙxⁿ₁| < 1 untuk n ≥ N. Kemudian, untuk setiap x di mana |x| < |x₁|,

|aₙxⁿ| = |aₙxⁿ₁|·|x/x₁|ⁿ < |x/x₁|ⁿ

ini berlaku untuk n ≥ N. Sekarang ∑|x/x₁|ⁿ berkonvergen, karena ini adalah deret geometri dengan rasio kurang dari 1. Jadi, dengan Uji Perbandingan Biasa, ∑|aₙxⁿ| berkonvergen. Kita telah menunjukkan bahwa jika deret pangkat berkonvergen pada x₁, maka deret itu berkonvergen (secara absolut) untuk semua x sedemikian rupa sehingga |x| < |x₁|.

Di sisi lain, misalkan deret pangkat berdivergen pada x₂. Maka deret itu harus berdivergen untuk semua x di mana |x| > |x₂|. Karena jika deret itu berkonvergen pada x₁ sedemikian rupa sehingga |x₁| > |x₂|, maka, berdasarkan apa yang telah kita tunjukkan, deret itu akan berkonvergen pada x₂, yang bertentangan dengan hipotesis.

Dua paragraf ini secara bersama-sama menghilangkan semua kemungkinan jenis himpunan konvergensi kecuali tiga jenis yang disebutkan dalam teorema.

Tambahan:

Sebuah deret pangkat ∑(aₙxⁿ) berkonvergen secara absolut di bagian dalam dari interval konvergensinya.

Tentu saja, deret itu bahkan mungkin berkonvergen secara absolut di titik-titik ujung interval konvergensi, tetapi hal itu tidak dapat kita pastikan.

Contoh:

Berapakah himpunan konvergensi untuk

∑xⁿ/[(n + 1)·2ⁿ] = 1 + x/2 + x²/(3·2²) + x³/(4·2³) + ...

Perhatikan bahwa beberapa suku mungkin negatif (jika x negatif). Mari kita uji konvergensi absolut menggunakan Uji Rasio Absolut.

Deret ini berkonvergen secara absolut (sehingga berkonvergen) ketika ρ = |x|/2 < 1 dan berdivergen ketika |x|/2 > 1. Akibatnya, deret ini berkonvergen ketika |x| < 2 dan berdivergen ketika |x| > 2.

Jika x = 2 atau x = –2, Uji Rasio gagal. Namun, ketika x = 2, deret tersebut adalah deret harmonik, yang berdivergen; dan ketika x = –2, itu adalah deret harmonik bergantian, yang berkonvergen. Kita menyimpulkan bahwa himpunan konvergensi untuk deret yang diberikan adalah interval –2 ≤ x < 2.

3. Deret Pangkat dalam x − a

Sebuah deret dalam bentuk

∑aₙ(x – a)ⁿ = a₀ + a₁(x – a) + a₂(x – a)² + ...

disebut sebuah deret pangkat dalam x – a. Semua yang telah kita katakan tentang deret pangkat dalam x berlaku sama baiknya untuk deret dalam x – a. Secara khusus, himpunan konvergensinya selalu merupakan salah satu dari jenis interval berikut:

• Titik tunggal x = a.

• Sebuah interval (a – R, a + R), ditambah kemungkinan satu atau kedua titik ujungnya.

• Seluruh garis bilangan real.

Contoh:

Temukan himpunan konvergensi untuk ∑(x – 1)ⁿ/(n + 1)²

Kita menerapkan Uji Rasio Absolut.

Dengan demikian, deret ini berkonvergen jika |x – 1| < 1, yaitu, jika 0 < x < 2; deret ini berdivergen jika |x – 1| > 1. Deret ini juga berkonvergen (bahkan secara absolut) di kedua titik ujung 0 dan 2, seperti yang kita lihat dengan substitusi nilai-nilai ini. Himpunan konvergensi adalah interval tertutup [0, 2].

4. Turunan dan Integral Deret Pangkat

Misalkan S(x) adalah jumlah dari deret pangkat pada sebuah interval I; yaitu,

S(x) = ∑aₙxⁿ = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ...

Kemudian, jika x berada di bagian dalam I, dengan mengingat sifat aditif turunan dan integral, kita peroleh

(i) Berikut ini turunan dari S(x)

= a₁ + 2a₂x + 3a₃x² + ...

(ii) Berikut ini 

= a₀x + ½a₁x² + ⅓a₂x³ + ¼a₃x⁴ + ...

Contoh:

1. Ingat kembali deret geometri:

1/(1 – x) = 1 + x + x² + x³ + x⁴ + ...

dengan menurunkan dan mengintegralkannya diperoleh

dengan memasukkan –x ke ln(1 – x) dan membalik tanda diperoleh

ln(1 + x) = x – x²/2 + x³/3 – x⁴/4 + ...

2. Misal kita masukkan –x² ke deret geometri, akan kita peroleh

1/(1 + x²) = 1 – x² + x⁴ – x⁶ + x⁸ – ..., integralkan

bentuk terakhir ini deret pangkat untuk tan⁻¹(x).

3. Perhatikan deret berikut:

menurunkan deret ini akan diperoleh

turunan dari S(x) sama dengan S(x) itu sendiri. Fungsi yang diturunkan menghasilkan dirinya sendiri adalah kelipatan fungsi eksponen (ingat kembali turunan), berarti S(x) = k·eˣ ...(i)

Jika kita masukkan x = 0 ke S(x), semua suku selain suku pertama adalah 0, sehingga S(0) = 1 ...(ii)

Menurut (i) dan (ii), kita peroleh

k·e⁰ = 1

k = 1

Jadi, S(x) = eˣ.

5. Operasi untuk |x| Cukup Kecil

Misalkan f(x) = ∑(aₙxⁿ) dan g(x) = ∑(bₙxⁿ), dengan kedua deret ini berkonvergen setidaknya untuk |x| < r. Jika operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian dilakukan pada deret-deret ini seolah-olah mereka adalah polinomial, deret yang dihasilkan akan berkonvergen untuk |x| < r dan masing-masing mewakili f(x) + g(x), f(x) – g(x), dan f(x) • g(x). Jika b₀ ≠ 0, hasil yang sesuai berlaku untuk pembagian, tetapi kita hanya dapat menjamin validitasnya untuk |x| yang cukup kecil.