Metode Biseksi atau Half-Interval

1. Muqodimah

Ada beberapa cara untuk mencari solusi perkiraan, di antaranya:

• Secara Grafis: Ini adalah cara paling sederhana, yaitu dengan menggambar fungsi dan mencari titik potongnya dengan sumbu x. Titik potong ini adalah akar persamaannya. Namun, cara ini menghasilkan hasil yang kasar dan tidak efisien karena sulit untuk menentukan nilai akar yang akurat dari gambar.

• Secara Coba Banding: Metode ini dilakukan dengan mencoba nilai x secara acak hingga ditemukan nilai f(x) yang mendekati nol. Prosedur ini diulang terus-menerus. Cara ini juga tidak efisien dan tidak sistematis.

Karena cara-cara di atas tidak efisien dan tidak sistematis, dikembangkanlah berbagai metode numerik lain yang memberikan penyelesaian perkiraan secara lebih sistematis untuk mencari akar persamaan.

Inti dari metode numerik adalah melakukan iterasi (perulangan hitungan) secara berurutan. Setiap hasil hitungan baru akan lebih teliti dari hasil sebelumnya, sampai akhirnya diperoleh hasil perkiraan yang mendekati hasil eksak (dengan tingkat toleransi yang diijinkan).

2. Teorema Akar dan Pembawaan Menuju Metode Biseksi

Ingat kembali teorema akar yang berbunyi:

Misalkan I = [a, b] dan f : I → ℝ kontinu pada I. Jika f(a)f(b) < 0, maka ada bilangan c ∈ (a, b) sedemikian sehingga f(c) = 0.

Pertimbangkan bahwa f(a)f(b) < 0 artinya f(a) dan f(b) keduanya berbeda tanda, dimana salahsatu positif dan yang lain negatif. Dalam keadaan ini, terdapat akar dari fungsi f diantara a dan b. Teorema ini membawa kita kepada suatu metode pencarian akar, yaitu metode biseksi.

3. Langkah-Langkah

Metode biseksi (bisection method) ini mudah dilakukan, karena tidak ada penggunaan rumus, hanya mengambil titik tengah saja, berikut ini langkah-langkahnya:

1. Tentukan bilangan a dan b sehingga f(a)f(b) < 0 artinya f(a) dan f(b) keduanya berbeda tanda, dimana salahsatu positif dan yang lain negatif.

2. Tentukan titik tengah dari a dan b, misal c, berarti c = (a + b)/2

3. Perhatikan tanda dari f(c), jika f(a)f(c) < 0, tentukan titik tengah dari a dan c untuk dicek selanjutnya, begitu juga jika f(b)f(c) < 0, tentukan titik tengah dari b dan c untuk dicek selanjutnya.

4. Ulangi terus langkah ke-3, yang terpenting adalah memperhatikan mana titik terakhir yang membuat fungsi bernilai positif dan mana titik terakhir yang membuat fungsi bernilai negatif.

Contoh

Misal suatu persamaan f(x) = x³ – 5x + 3, tentukan akar-akarnya!

Perhatikan bahwa f(0) = 0³ – 5·0 + 3 = 3 > 0 dan f(1) = 1³ – 5·1 + 3 = –1 < 0, sehingga

f(0)f(1) = 3·(–1) = –3 < 0, berarti terdapat akar diantara 0 dan 1

Tentukan tengah dari 0 dan 1, yaitu (0 + 1)/2 = 0,5

f(0,5) = 0,625 > 0; kita peroleh bahwa f(0,5) > 0 yang berlawanan tanda dengan f(1), berarti terdapat akar diantara 0,5 dan 1.

Tentukan tengah dari 0,5 dan 1; yaitu (0,5 + 1)/2 = 0,75

f(0,75) = –0,328125

Berikut tabel iterasinya:

n	x	f(x)	sign
1	0	3	+
2	1	–1	–
3	0,5	0,625	+
4	0,75	–0,328125	–
5	0,625	0,119141	+
6	0,6875	–0,112549	–
7	0,65625	0,0013732	+
8	0,671875	–0,056080	–
9	0,664063	–0,027475	–
10	0,660156	–0,013081	–
11	0,658203	–0,005861	–
12	0,657227	–0,002246	–
13	0,656738	–0,000437	–
14	0,656494	0,000468	+
15	0,656616	1,56421·10⁻⁵	+

Pada iterasi ke-15 diperoleh x = 0,656616 dan f(x) = 1,56421·10⁻⁵ yang cukup dekat dengan 0. Jadi, akar dari f sekitar 0,656616.

Fungsi f memiliki 3 akar dan telah kita peroleh salahsatunya, selanjutnya Minfor mempersilahkan kepada Sixtyfourians untuk mencoba sendiri.

Berikut ini video tentang Metode Biseksi: