Metode False Position untuk Mengaproksimasi Akar Fungsi

Metode regula falsi atau false position adalah salah satu cara untuk mencari akar persamaan. Metode ini memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval. Mirip dengan metode biseksi, metode ini bekerja secara berulang atau iteratif dengan memperbarui intervalnya.

Prinsip dasarnya adalah, di sekitar akar fungsi yang diperkirakan, kita menganggap fungsi tersebut sebagai garis lurus. Titik di mana garis lurus ini memotong garis nol (sumbu x) akan menjadi akar fungsi.

Langkah-Langkah Perhitungan

1. Tentukan Persamaan dan Batas Awal

• Pertama, tentukan persamaan fungsi yang akan dicari akarnya, yaitu y = f(x), di mana kita mencari nilai x saat f(x) = 0.

• Tentukan dua titik awal, A dan B₀. Kedua titik ini harus memiliki tanda yang berbeda, artinya f(A) × f(B₀) < 0.

2. Hitung Titik Potong Pertama (x₁)

• Buat garis lurus yang menghubungkan titik A(α, f(α)) dan B₀(x₀, f(x₀)).

• Garis ini akan memotong sumbu x di titik P₁(x₁, 0).

Nilai x₁ dihitung menggunakan rumus:

3. Lanjutkan Iterasi

• Gunakan koordinat titik P₁(x₁, 0) untuk menentukan titik baru, yaitu B₁(x₁, f(x₁)).

• Buat garis lurus baru yang menghubungkan A dan B₁. Garis ini akan memotong sumbu x di titik P₂(x₂, 0).

Hitung nilai x₂ dengan rumus:

4. Ulangi Proses Hingga Konvergen

Proses ini diulang terus-menerus hingga mencapai titik P atau sangat mendekati P, di mana nilai f(xₙ₊₁) sangat kecil (mendekati nol).

Rumus umum untuk iterasi ke-n adalah:

Perlu dicatat, metode false position ini berbeda dari metode bisection. Pada bisection, kedua batas interval selalu berubah. Namun, pada metode false position, hanya satu batas yang berubah, yaitu batas yang memiliki tanda yang sama dengan f(xₙ).

Contoh Soal

Temukan akar real dari cos(x) – 3x + 5 = 0, dengan akurasi hingga 6 desimal menggunakan metode Posisi Salah (False Position).

Perhatikan bahwa f(0) = 5 dan f(2) = –1,416147; keduanya berbeda tanda, oleh karena itu diantara keduanya terdapat akar.

Misal dipilih α = 0 dan x₀ = 2, kita dapat menentukan iterasinya sebagai berikut:

Berikut ini tabel proses iterasi:

n	xₙ	–5xₙ/[cos(xₙ) – 3xₙ]
0	2	1,618091
1	1,618091	1,645084
2	1,645084	1,642491
3	1,642491	1,642736
4	1,642736	1,642713
5	1,642713	1,642715
6	1,642715	1,642715

Jadi, akar dari cos(x) – 3x + 5 = 0 dengan akurasi hingga 6 desimal adalah 1,642715.