Metode Newton-Rafson untuk Mengaproksimasi Akar Fungsi

Mengenal Metode Newton-Rafson untuk Mencari Akar Persamaan

Metode Newton-Rafson, atau sering disebut metode Newton, adalah salah satu metode yang paling dikenal untuk mencari akar dari sebuah fungsi f(x). Metode ini dikenal sederhana dan cepat, menjadikannya pilihan favorit dalam banyak perhitungan numerik.

Apa Kekurangannya?

Satu hal yang perlu diperhatikan, metode ini memerlukan turunan dari fungsi, yaitu f'(x), dan juga fungsi aslinya f(x) itu sendiri. Oleh karena itu, metode Newton-Rafson hanya dapat digunakan pada masalah di mana turunan f'(x) mudah dihitung.

Cara Kerja Metode Newton-Raphson

Metode ini bekerja secara berulang (iterasi) untuk menemukan solusi. Berikut adalah algoritmanya:

1. Pilih Tebakan Awal: Pilih sebuah titik x₁ sebagai tebakan awal dari solusi.

2. Hitung Turunan dan Titik Potong:

• Kita mengasumsikan f(x) kontinu dan dapat diturunkan.

• Solusi kedua (x₂) ditemukan dengan menggambar garis singgung (tangent) ke f(x) pada titik (x₁, f(x₁)) dan menentukan titik potong garis singgung tersebut dengan sumbu x.

• Kemiringan, atau f'(x₁), dari garis singgung pada titik (x₁, f(x₁)) dapat ditulis sebagai:

Dari sini, kita bisa mendapatkan rumus untuk x₂:

3. Lakukan Iterasi Selanjutnya:

• Rumus di atas dapat digeneralisasi untuk menentukan solusi berikutnya (xᵢ₊₁) dari solusi saat ini (xᵢ):

• Proses ini diulang terus-menerus hingga kita mendapatkan hasil yang akurat.

Kapan Metode Ini Berhasil?

Metode Newton-Rafson bekerja dengan baik dan konvergen (mendekati solusi) dengan cepat. Namun, masalah konvergensi bisa terjadi jika nilai f'(x) mendekati nol di sekitar solusi, di mana f'(x)=0.

Metode ini umumnya konvergen jika f(x), f'(x), dan f"(x) semuanya kontinu, f'(x) tidak nol pada solusi, dan nilai tebakan awal (x₁) dekat dengan solusi sebenarnya.

Contoh Soal

Tentukan salahsatu akar dari fungsi f(x) = x⁴ – 2x³ – 5x² + 3x + 1 menggunakan metode Newton-Rafson dengan ketelitian hingga 6 desimal.

Diberikan f(x) = x⁴ – 2x³ – 5x² + 3x + 1, turunannya adalah f'(x) = 4x³ – 6x² – 10x + 3.

Misal kita pilih tebakan awalnya –2, berikut ini tabel iterasinya:

n	xₙ	xₙ – (xₙ⁴ – 2xₙ³ – 5xₙ² + 3xₙ + 1)/(4xₙ³ – 6xₙ² – 10xₙ + 3)
1	–2	–1,787879
2	–1,787879	–1,726375
3	–1,726375	–1,721314
4	–1,721314	–1,721281
5	–1,721281	–1,721281

Jadi, salahsatu akar dari fungsi f adalah –1,721281. Masih ada 3 akar lainnya, Minfor mempersilahkan kepada Sixtyfourians untuk mencoba sendiri.