Metode Numerik: Muqodimah

1. Muqodimah

A. Pengertian dan Tujuan

Metode numerik adalah teknik untuk menyelesaikan masalah matematis dengan operasi hitungan atau aritmetika. Metode ini digunakan ketika suatu persamaan memiliki bentuk yang kompleks dan sulit diselesaikan secara analitis (menggunakan rumus matematis yang eksak).

Hasil dari metode numerik berupa nilai perkiraan atau pendekatan, bukan nilai yang eksak. Oleh karena itu, tingkat kesalahan dalam penyelesaian numerik harus diatur agar cukup kecil.

B. Proses dan Ketergantungan pada Komputer

Dalam metode numerik, penyelesaian masalah dilakukan melalui serangkaian proses hitungan atau algoritma yang berulang-ulang (iterasi) sampai hasil yang diinginkan tercapai. Karena proses ini sangat banyak, penggunaan komputer menjadi sangat penting untuk membantu melakukan operasi hitungan tersebut secara cepat dan efisien. Tanpa bantuan komputer, metode numerik tidak memiliki banyak manfaat.

C. Perkembangan dan Aplikasi

Meskipun awalnya dikembangkan untuk ahli matematika, metode numerik sekarang sudah digunakan secara luas oleh para ahli di berbagai bidang, seperti teknik sipil, mesin, elektro, kimia, kedokteran, ekonomi, dan lain-lain.

Perkembangan pesat kemampuan komputer di era modern telah meningkatkan penggunaan metode numerik untuk menyelesaikan berbagai permasalahan kompleks yang mungkin tidak bisa diselesaikan secara analitis, termasuk sistem persamaan yang besar, non-linier, dan sangat rumit.

D. Metode Analitik vs Metode Numerik

Metode analitik memberikan solusi sejati / yang sesungguhnya, yaitu solusi yang memiliki galat (error) sama dengan nol.

Sedangkan metode numerik digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan/aritmetik biasa (+, ×, ÷, –).

2. Galat / Error

A. Pengertian

Galat atau error dalam proses numerik adalah suatu nilai dalam satuan tertentu yang menggambarkan perbedaan nilai antara nilai yang seharusnya (asli / eksak) dan nilai pendekatan. Dalam proses matematika terdapat galat / error, dalam prakteknya nilai galat / error selalu diinginkan agar nilainya sekecil mungkin.

B. Sumber Error

Dalam proses numerik, terdapat beberapa jenis kesalahan yang mungkin timbul yaitu:

1. Human error / Blunders

2. Salah sewaktu pemodelan (Mathematical modelling of a physical problem)

3. Dari alat hitung (Machine errors)

4. Dari pemotongan fungsi (Mathematical truncation error)

5. Dari data itu sendiri (Uncertainty in physical data)

C. Macam-Macam Kesalahan

1. Kesalahan Bawaan

Ini terjadi karena kesalahan dalam mencatat data, salah membaca skala, atau kurang mengerti hukum-hukum fisik dari data yang diukur.

2. Kesalahan Pembulatan (round-off error)

Kesalahan ini terjadi karena tidak dihitungnya beberapa angka terakhir dari suatu bilangan. Hal ini biasanya dilakukan bila bilangan perkiraan digunakan untuk menggantikan bilangan eksak. Contoh:

π ≈ 3,14159265 dapat dibulatkan menjadi 3,14.

3. Kesalahan Pemotongan (truncation error)

Ini terjadi karena hitungan tidak dilakukan sesuai dengan prosedur matematika yang benar, misalnya ketika sebuah proses tak terhingga diganti dengan proses berhingga. Dalam matematika, suatu fungsi bisa direpresentasikan dalam bentuk deret tak terhingga, contohnya:

eˣ = 1 + x + x²/2 + x³/6

Nilai eksak dari eˣ hanya bisa didapat jika semua suku dari deret tersebut diperhitungkan.

3. Mengukur Error

Terdapat tiga cara umum untuk mengukur error (galat) dari nilai pendekatan (xₐ) terhadap nilai sebenarnya (eksak) (xₜ):

A. Error / Galat

Ini adalah selisih antara nilai asli dengan nilai pendekatan.

α_x = x – xₜ

B. Error Absolut (Galat Mutlak)

Ini adalah perbedaan atau selisih numerik antara nilai sebenarnya dengan nilai aproksimasinya, namun dalam nilai mutlak.

α_x = |x – xₜ|

C. Error Relatif (Galat Relatif)

Ini adalah besarnya tingkat kesalahan dengan membandingkan error absolut terhadap nilai sebenarnya.

Dalam beberapa referensi, nilai error relatif juga disajikan dalam persentase, yaitu

Singkatnya, error absolut adalah besar kesalahan tanpa memperhatikan tanda, sedangkan error relatif mengukur seberapa besar kesalahan tersebut dibandingkan dengan nilai yang benar (sebenarnya).

4. Rambatan Error

A. Rambatan Error Penjumlahan

α_{x + y} = (x + y) – (xₜ + yₜ) = (x – xₜ) + (y – yₜ) = α_x + α_y 

B. Rambatan Error Pengurangan

α_{x – y} = (x – y) – (xₜ – yₜ) = (x – xₜ) – (y – yₜ) = α_x – α_y 

C. Rambatan Error Perkalian

Cara I:

α_xy = xy – xₜyₜ = xy – xyₜ + xyₜ – xₜyₜ = x(y – yₜ) + (x – xₜ)yₜ = α_yx + α_xyₜ

Cara II:

α_xy = xy – xₜy + xₜy – xₜyₜ = (x – xₜ)y + xₜ(y – yₜ) = α_xy + α_yxₜ

D. Rambatan Error Pembagian

Cara I:

α_x/y = x/y – xₜ/yₜ = x/y – x/yₜ + x/yₜ – xₜ/yₜ = (x – xₜ)/y – xₜ(y – yₜ)/(yyₜ) = (α_xyₜ – α_yxₜ)/(yyₜ)

Cara II:

α_x/y = x/y – xₜ/yₜ = x/y – x/yₜ + x/yₜ – xₜ/yₜ = –x(y – yₜ)/(yyₜ) + (x – xₜ)/yₜ = (α_xy – α_yx)/(yyₜ)

5. Rambatan Error Relatif

A. Rambatan Error Relatif Perkalian

xₜyₜ – xy = xₜyₜ – (xₜ – α_x)(yₜ – α_y) = α_yxₜ + α_xyₜ – α_xα_y 

Rel(xy) = (xₜyₜ – xy)/(xₜyₜ) = (α_yxₜ + α_xyₜ – α_xα_y)/(xₜyₜ) = α_y/yₜ + α_x/xₜ – α_xα_y/(xₜyₜ)

= Rel(x) + Rel(y) – Rel(x)·Rel(y)

B. Rambatan Error Relatif Pembagian

xₜ/yₜ – x/y = xₜ/yₜ – (xₜ – α_x)/(yₜ – α_y)

Rel(x/y) = (xₜ/yₜ – x/y)/(xₜ/yₜ) = [xₜ/yₜ – (xₜ – α_x)/(yₜ – α_y)]·(yₜ/xₜ) = 1 – [1 – Rel(x)]/[1 – Rel(y)]

= [(1 – Rel(y)) – (1 – Rel(x))]/[1 – Rel(y)] = [Rel(x) – Rel(y)]/[1 – Rel(y)]

6. Angka Signifikan

A. Arti Penting

Secara sederhana, angka signifikan adalah digit-digit yang memberikan informasi bermakna tentang suatu bilangan. Ada dua arti penting dari angka signifikan:

• Mengukur Keyakinan: Angka signifikan memberikan gambaran tentang seberapa yakin kita terhadap hasil pendekatan dalam metode numerik. Semakin banyak angka signifikan, semakin akurat hasil yang kita dapatkan.

• Mengelola Kesalahan: Angka signifikan membantu kita mengabaikan digit-digit yang tidak perlu dari besaran yang tidak bisa dinyatakan secara eksak. Ini erat kaitannya dengan kesalahan pembulatan (round-off error), di mana kita harus membatasi jumlah digit karena keterbatasan hitungan.

Selain angka signifikan, ada juga angka taksiran, yaitu digit terakhir yang nilainya kurang pasti atau diragukan.

B. Aturan Dasar

Bagaimana kita tahu angka mana yang signifikan? Berikut beberapa panduan:

• Angka bukan nol selalu signifikan. Contoh: 123 memiliki 3 angka signifikan.

• Angka nol (0) tidak selalu signifikan. Angka nol yang terletak di depan (misalnya 0,000123) tidak signifikan karena hanya berfungsi sebagai penanda posisi desimal. Angka ini hanya mengandung 3 angka signifikan (1, 2, 3).

• Angka nol di antara angka bukan nol selalu signifikan. Contoh: 102 memiliki 3 angka signifikan.

• Angka nol di belakang angka bukan nol bisa jadi signifikan atau tidak. Contoh:

12300: Angka ini tidak jelas berapa angka signifikannya. Untuk menghindari keraguan, gunakan notasi ilmiah.

1,23 × 10⁴: memiliki 3 angka signifikan.

1,230 × 10⁴: memiliki 4 angka signifikan.

1,2300 × 10⁴: memiliki 5 angka signifikan.

C. Cara Pembulatan

Membulatkan bilangan sampai sejumlah 'n' angka signifikan berarti kita harus menghilangkan semua digit di sebelah kanan angka ke-n. Perhatikan aturan-aturan ini:

• Jika digit yang dihilangkan kurang dari 5, maka angka ke-n tetap sama.

Contoh: Membulatkan 1,78736 menjadi 4 angka signifikan. Digit kelima adalah 3 (kurang dari 5), jadi dibulatkan menjadi 1,787.

• Jika digit yang dihilangkan lebih dari 5, maka angka ke-n bertambah satu.

Contoh: Membulatkan 6,20554 menjadi 4 angka signifikan. Digit kelima adalah 5 (lebih besar dari 5), jadi angka 5 dibulatkan menjadi 6. Hasilnya adalah 6,206.

• Jika digit yang dihilangkan sama dengan 5, maka perhatikan angka ke-n:

Jika angka ke-n ganjil, maka angkanya bertambah satu dan jika angka ke-n genap, angkanya tetap.

Berikut beberapa contoh pembulatan hingga empat angka signifikan:

1,78736 → 1,787 (karena 3 < 5)

2,03928 → 2,039 (karena 2 < 5)

0,86751 → 0,8675 (karena 1 < 5)

6,20554 → 6,206 (karena digit di belakang 5 bukan nol, maka naik)

40,0191 → 40,02 (karena 9 > 5)

8,32029 → 8,320 (karena 2 < 5)

Dengan memahami dan menerapkan konsep angka signifikan, kita bisa bekerja dengan data numerik secara lebih efisien dan akurat, serta menghindari kesalahan yang tidak perlu dalam perhitungan.

7. Akurasi dan Presisi

A. Akurasi vs Presisi: Memahami Dua Konsep Penting dalam Pengukuran

Dalam dunia ilmiah dan teknis, dua kata sering kali digunakan secara bergantian: akurasi dan presisi. Padahal, keduanya memiliki makna yang berbeda dan sangat penting untuk dipahami, terutama dalam metode numerik dan pengukuran.

B. Akurasi: Seberapa Dekat Hasil Pengukuran dengan Nilai Sebenarnya?

Akurasi mengacu pada seberapa dekat sebuah angka pendekatan atau pengukuran dengan nilai yang sebenarnya (eksak) yang ingin kita nyatakan.

Contohnya, jika targetnya adalah nilai 100, dan Sixtyfourians mengukur 99,8; maka pengukuran tersebut sangat akurat karena sangat dekat dengan nilai yang benar.

Inakurasi (Tidak Akurat) adalah kebalikannya, yaitu adanya simpangan sistematis dari kebenaran. Ini berarti hasil pengukuran secara konsisten jauh dari nilai yang sebenarnya, meskipun mungkin hasil antar pengukuran saling berdekatan.

C. Presisi: Seberapa Konsisten Hasil Pengukuran?

Presisi adalah tentang konsistensi. Ini mengacu pada:

Banyak angka signifikan yang digunakan untuk menyatakan suatu besaran. Semakin banyak angka signifikan, semakin presisi nilainya.

Penyebaran dalam bacaan berulang dari sebuah alat ukur. Jika Sixtyfourians melakukan pengukuran yang sama berkali-kali dan hasilnya selalu berdekatan satu sama lain, maka pengukuran tersebut presisi.

Contohnya, jika diukur target yang sama berkali-kali dan mendapatkan hasil 98,4; 98,5; dan 98,3; maka pengukuran tersebut presisi karena semua hasilnya berdekatan, meskipun mungkin tidak akurat jika nilai sebenarnya adalah 100.

Singkatnya, akurasi adalah tentang kebenahan (kedekatan dengan sasaran), sedangkan presisi adalah tentang konsistensi (kedekatan antar hasil pengukuran itu sendiri). Keduanya idealnya harus dimiliki untuk mendapatkan hasil yang andal.