Penyajian Geometris dan Bentuk Eksponen Bilangan Kompleks

1. Interpretasi Geometris Bilangan Kompleks

• Bilangan kompleks z = x + iy biasa diasosiasikan dengan suatu titik di bidang yang memiliki koordinat (x, y).

• Jika digunakan untuk tujuan menampilkan bilangan z = x + iy, bidang-xy disebut bidang kompleks atau bidang-z.

• Sumbu-x disebut sumbu riil dan sumbu-y disebut sumbu imajiner.

• Bilangan z juga dapat difikirkan sebagai ruas garis berarah atau vektor dari titik asal ke titik (x, y).

2. Konsep-Konsep Dasar Bilangan Kompleks

A. Penjumlahan

Sesuai dengan definisi penjumlahan dari dua bilangan kompleks z₁ = (x₁, y₁) dan z₂ = (x₂, y₂), bilangan z₁ + z₂ berkaitan dengan titik yang koordinatnya (x₁ + x₂, y₁ + y₂) atau vektor dengan komponen tersebut dan z₁ + z₂ dapat diperoleh secara vektorial.

B. Pengurangan

Pengurangan z₁ – z₂ = z + (–z₂) berkaitan dengan titik yang koordinatnya (x₁ – x₂, y₁ – y₂) atau vektor dengan komponen tersebut. z₁ – z₂ juga dapat diperoleh secara vektorial.

Jarak antara titik z₁ = x₁ + iy₁ dan z₂ = x₂ + iy₂ dapat dilihat sebagai panjang vektor yang merepresentasikan z₁ – z₂ yakni |z₁ – z₂|.

C. Nilai Mutlak

Secara geometri |z| adalah jarak antara titik asal dengan titik (x, y) atau panjang vektor yang mewakili z. Jika z bilangan riil positif maka |z| = z. Ketaksamaan z₁ < z₂ berarti z₁ dan z₂ adalah bilangan riil, |z₁| < |z₂| berarti jarak z₁ ke titik asal lebih dekat daripada jarak z₂ ke titik asal. Diperoleh hasil:

Nilai mutlak suatu bilangan kompleks sama dengan panjang vektor yang menyajikan bilangan kompleks itu.

D. Konjugat

Konjugat kompleks atau disingkat konjugat dari bilangan kompleks z = x + iy didefinisikan sebagai bilangan kompleks z̄ = x – iy dan dinyatakan z̄, yakni z̄ = x – iy.

Secara geometris bilangan kompleks z adalah titik (x, –y) yang merupakan refleksi terhadap sumbu riil dari titik (x, y) yang merepresentasikan z.

3. Bentuk Polar Bilangan Kompleks

A. Bentuk Polar

Misal r dan θ koordinat polar dari titik (x, y) yang berkaitan dengan bilangan kompleks z = x + iy.

z dapat dinyatakan dalam bentuk polar z = r(cos θ + i sin θ).

Jika z = 0 maka θ tidak didefinisikan, sehingga sembarang bilangan kompleks yang ditulis dalam bentuk polar dipahami sebagai tak nol. Pada analisis kompleks, bilangan riil r tidak diperbolehkan negatif, r = |z| menunjukkan panjang vektor yang mewakili z. Bilangan riil θ mewakili sudut, yang diukur dalam radian, yang dibentuk z dengan sumbu riil positif jika z dipandang sebagai vektor.

θ memiliki tak berhingga banyaknya nilai yang mungkin, termasuk bilangan riil negatif, berbeda dalam kelipatan 2π. Nilai tersebut dapat dicari dengan tan θ = y/x, di mana kuadran yang memuat titik z harus diperhatikan.

Setiap nilai dari θ disebut argumen dari z dan dinotasikan dengan arg(z). Nilai utama dari arg(z), dinotasikan dengan Arg(z) adalah nilai argumen θ, dengan –π < θ ≤ π, jadi arg(z) = Arg(z) + 2nπ (n = 0, ±1, ±2, ...).

Bentuk polar r·[cos(θ) + i·sin(θ)] biasa disingkat menjadi r·cis(θ).

B. Sifat-Sifat Argumen

1. Argumen konjugat

Misal z = r·cis(θ) = r·[cos(θ) + i·sin(θ)], konjugatnya adalah

z̄ = r·[cos(θ) – i·sin(θ)] = r·[cos(–θ) + i·sin(–θ)] = r·cis(–θ)

Jadi, diperoleh z̄ = r·cis(–θ) dan arg(z̄) = –arg(z).

2. Argumen perkalian

Misal z₁ = r₁·cis(θ₁) dan z₂ = r₂·cis(θ₂), hasil kalinya adalah

z₁·z₂ = r₁·r₂·cis(θ₁)·cis(θ₂) = r₁·r₂·[cos(θ₁) + i·sin(θ₁)]·[cos(θ₂) + i·sin(θ₂)] 

= r₁·r₂·[cos(θ₁)·cos(θ₂) – sin(θ₁)·sin(θ₂) + i·(cos(θ₁)·sin(θ₂) + sin(θ₁)·cos(θ₂))]

= r₁·r₂·[cos(θ₁ + θ₂) + i·sin(θ₁ + θ₂)] = r₁·r₂·cis(θ₁ + θ₂)

Jadi, diperoleh z₁·z₂ = r₁·r₂·cis(θ₁ + θ₂) dan arg(z₁·z₂) = arg(z₁) + arg(z₂).

Secara geometris, z₁·z₂ direpresentasikan sebagai vektor dengan panjang r₁·r₂ dan sudutnya terhadap sumbu riil positif adalah sebesar θ₁ + θ₂.

3. Argumen pembagian

Misal z₁ = r₁·cis(θ₁) dan z₂ = r₂·cis(θ₂), hasil baginya adalah

Jadi, diperoleh z₁/z₂ = (r₁/r₂)·cis(θ₁ – θ₂) dan arg(z₁/z₂) = arg(z₁) – arg(z₂).

Secara geometris, z₁/z₂ direpresentasikan sebagai vektor dengan panjang r₁/r₂ dan sudutnya terhadap sumbu riil positif adalah sebesar θ₁ – θ₂.

C. Dalil De Moivre

Ingat kembali perkalian bilangan kompleks, dimana misal z₁ = r₁·cis(θ₁) dan z₂ = r₂·cis(θ₂), hasil kalinya adalah z₁·z₂ = r₁·r₂·cis(θ₁ + θ₂), kita dapat mengembangkannya menjadi:

z₁·z₂···zₙ = r₁·r₂···rₙ·cis(θ₁ + θ₂ + ... + θₙ)

Untuk kasus khusus dimana z₁ = z₂ = ... = zₙ, berlaku

zⁿ = rⁿ·cis(nθ) = rⁿ·[cos(nθ) + i·sin(nθ)]

Bentuk terakhir ini disebut sebagai Dalil De Moivre. Pada uraian ini kita baru mengetahui berlakunya Dalil De Moivre untuk n bilangan cacah, selanjutnya pada pembahasan tentang rumus Euler kita akan mengetahui berlakunya Dalil De Moivre untuk n bilangan real, bahkan bilangan kompleks.

4. Bentuk Eksponensial Bilangan Kompleks dan Rumus Euler

A. Bentuk Eksponen dan Rumus Euler

Selain bentuk standar z = a + bi dan bentuk polar z = r.cis(θ), kita juga dapat menyatakan bilangan kompleks dalam bentuk eksponen.

Leonhard Euler merumuskan:

e^iθ = cos(θ) + i.sin(θ) = cis(θ)

Sehingga bilangan kompleks dalam bentuk eksponen adalah z = r.e^iθ 

Apabila kita pangkatkan dengan n, akan menjadi:

zⁿ = (r.e^iθ)ⁿ 

= rⁿ.e^inθ 

= rⁿ.cis(nθ)

Terbentuklah dalil De Moivre, dengan mempertimbangkan bahwa rumus Euler berlaku untuk semua pangkat bilangan kompleks, kita memperoleh bahwa dalil De Moivre berlaku untuk semua n bilangan kompleks.

B. Operasi Bilangan Kompleks dalam Bentuk Eksponen

Misal z₁ = r₁.e^iθ₁ dan z₂ = r₂.e^iθ₂, berikut ini operasinya:

• Perkalian

z₁z₂ =  r₁.r₂.e^{i(θ₁ + θ₂)} 

• Pembagian

z₁/z₂ =  (r₁/r₂).e^{i(θ₁ – θ₂)} 

• Invers

z^–1 = 1/z = (1/r).(e^–iθ)

Contoh Soal

1. Tunjukkan bahwa |z – 1| = |z + i| menyatakan garis melalui titik pusat dengan kemiringan –1

Misal z = a + bi, persamaannya menjadi

|a + bi – 1| = |a + bi + i|

|(a – 1) + bi| = |a + (b + 1)i|

|(a – 1) + bi|² = |a + (b + 1)i|²

(a – 1)² + b² = a + (b + 1)²

a² – 2a + 1 + b² = a² + b² + 2b + 1 

–2a = 2b

–a = b

Persamaan garis pada bidang kompleks ini menyatakan garis melalui titik pusat dengan kemiringan –1.

2. Buktikan bahwa jika |z| ≤ 1 maka |Re(2 + z̄ + z³)| ≤ 4

Diberikan |z| ≤ 1, menurut ketaksamaan segitiga

|Re(2 + z̄ + z³)| ≤ |2 + z̄ + z³| ≤ |2| + |z̄| + |z³| ≤ 2 + 1 + 1 = 4

3. Buktikan bahwa |z| = 2 maka |1/(z⁴ – 4z² + 3)| ≤ ⅓

Diberikan |z| = 2, menurut ketaksamaan segitiga

|z⁴ – 4z² + 3| = |(z² – 2)² – 1| ≥ |(z² – 2)²| – 1 = |z² – 2|² – 1 ≥ (|z²| – 2)² – 1 = (|z|² – 2)² – 1 = (2² – 2)² – 1

= 2² – 1 = 3

Perhatikan 0 < 3 ≤ |z⁴ – 4z² + 3|, bagi masing-masing ruas dengan 3·|z⁴ – 4z² + 3|

0 < 1/|z⁴ – 4z² + 3| ≤ ⅓

|1/(z⁴ – 4z² + 3)| ≤ ⅓