Metode Secant untuk Mengaproksimasi Akar Fungsi

Konsep Dasar Metode Secant dan Pendekatan Gradien
Metode Secant mengatasi salah satu kekurangan dari Metode Newton-Rafson, yaitu keharusan untuk menghitung turunan pertama (diferensial) dari fungsi f(x), yang terkadang sulit dilakukan. Dalam Metode Secant, turunan pertama f'(xᵢ) didekati dengan nilai perkiraan berdasarkan diferensial beda hingga (finite difference), menggunakan dua titik iterasi sebelumnya. Pendekatan turunan di titik xᵢ (atau xᵢ₋₁) adalah kemiringan (gradien) dari garis yang menghubungkan titik (xᵢ₋₁, f(xᵢ₋₁)) dan (xᵢ, f(xᵢ)), yang disebut garis secant. Perhatikan gambar berikut:
Garis singgung di titik xᵢ didekati oleh bentuk berikut:

Rumus Iterasi Metode Secant
Metode Secant berasal dari penyamaan kemiringan garis yang melewati dua titik perkiraan awal dengan kemiringan garis yang melewati titik terakhir dan titik akar yang diasumsikan, mirip dengan proses pada Metode Newton-Rafson.
Dengan mensubstitusikan pendekatan f'(xᵢ) ke dalam rumus Newton-Rafson
diperoleh

Prosedur Metode Secant
• Memerlukan Dua Nilai Awal: Metode ini memerlukan dua nilai awal dari x, katakanlah x₀ dan x₁, yang digunakan untuk memperkirakan kemiringan (gradien) dari fungsi f(x).
Kedua titik (x₀, f(x₀)) dan (x₁, f(x₁)) dihubungkan oleh suatu garis lurus yang disebut garis secant.
• Menemukan Titik Baru: Garis secant ini adalah garis pendekatan terhadap fungsi f(x). Akar (perpotongan dengan sumbu-x) dari garis secant ini, yaitu x₂, merupakan pendekatan baru dari akar.
• Iterasi: Setelah menemukan x₂, gunakan dua titik terakhir (x₁ dan x₂) sebagai titik-titik baru dalam iterasi untuk mendapatkan pendekatan selanjutnya, x₃.
• Pengulangan: Proses tersebut diulang terus-menerus hingga nilai pendekatan konvergen atau memenuhi kriteria toleransi kesalahan tertentu.

Contoh Soal
Tentukan salahsatu akar dari fungsi f(x) = x³ – 2x + ½ menggunakan metode Secant dengan ketelitian hingga 6 desimal.
Pilih 2 nilai awal x₁ = 1 dan x₂ = 0, diperoleh f(x₁) = 1³ – 2·1 + ½ = –0,5 dan f(x₂) = 0³ – 0·1 + ½ = 0,5; dengan menggunakan rumus diperoleh x₃ berikut:
Selanjutnya x₃ = 0,5 sehingga f(x₃) = (0,5)³ – 2·(0,5) + ½ = –0,375; dengan menggunakan rumus diperoleh x₄ berikut:
Jika diteruskan berikut ini tabel iterasinya:

No

xₙ

f(xₙ)

1

1

–0,5

2

0

0,5

3

0,5

–0,375

4

0,285714

–0,048105

5

0,254181

0,008061

6

0,258706

–0,000098

7

0,258652

0,000000
Jadi, salahsatu akar dari fungsi f adalah 0,258652. Masih ada 2 akar lainnya, Minfor mempersilahkan kepada Sixtyfourians untuk mencoba sendiri.

Komentar

Posting Komentar

Postingan populer dari blog ini

Uji Linearitas dan Keberartian Regresi

Gambar
1. Uji Linearitas Regresi ➢ Analisis regresi mengharuskan adanya hubungan fungsional antara X dan Y yang linear → perubahan nilai di salah satu variabel independen akan menghasilkan perubahan yang konstan pada variabel dependen. ➢ Tujuan linearitas pada regresi adalah meyakinkan hubungan linear pada X dan Y dan juga dampak dari model tersebut. Selain itu, residu tersisa sudah tidak memiliki pola tertentu sehingga memastikan bahwa model yang dikeluarkan benar tepat.  ➢ Tidak dipenuhinya asumsi linearitas menjadikan estimasi parameter regresi menjadi bias (koefisien regresi, kesalahan baku, dan pengujian signifikansi) yang berakibat model regresi menjadi tidak tepat jika digunakan untuk prediksi. ➢ Hasil analisis regresi yang underfitting atau overfitting serta resiko kesalahan tipe I atau tipe II menjadi sangat besar. Berikut langkah-langkah uji linearitas: 1. Urutkan dan Kelompokkan Data Data diurutkan berdasarkan nilai X dari terkecil hingga terbesar. Data dengan nilai X yang sama...
Read more »

2025: ONMIPA (Olimpiade Nasional Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam)

Gambar
Balai Pengembangan Talenta Indonesia (BPTI) setiap tahun menyelenggarakan Olimpiade Nasional bidang Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Perguruan Tinggi (ONMIPA-PT) untuk mengembangkan talenta dan prestasi mahasiswa di bidang sains, riset, dan teknologi. ONMIPA-PT merupakan salah satu upaya untuk memenuhi kebijakan Merdeka Belajar Kampus Merdeka (MBKM) dan Indeks Kinerja Utama (IKU) perguruan tinggi, yaitu memfasilitasi mahasiswa untuk berprestasi di berbagai kompetisi. ONMIPA-PT diharapkan dapat menumbuhkan kecintaan pada Matematika dan IPA, menemukan talenta-talenta terbaik di bidang ini, serta mendorong kualitas pembelajaran dan prestasi perguruan tinggi. ONMIPA-PT diselenggarakan untuk meningkatkan penguasaan Matematika dan IPA. Penguasaan MIPA penting untuk mendorong daya saing bangsa dalam pengembangan sains dan teknologi. ONMIPA-PT telah diselenggarakan sejak tahun 2009 dan terdiri dari tiga tahap seleksi, yaitu seleksi tingkat perguruan tinggi, tingkat wilayah, dan tingkat nas...
Read more »

Berkas dan Jaringan Bola

1. Berkas yang Terbentuk oleh Dua Bola Misal diberikan bola  S 1  = 0 dan  S 2  = 0. Persamaan S 1  + λS 2  = 0, dengan λ parameter merupakan persamaan berkas bola. Semua bola yang dinyatakan oleh persamaan ini melalui lingkaran potong kedua bola. • Sebuah berkas bola ditentukan oleh tiap dua bola. • Bidang kuasa dari S 1  = 0 dan S 2  = 0 adalah juga bidang kuasa tiap dua bola dari berkas tersebut. • Jika dipotong sebuah berkas bola dengan bidang datar melalui sumbu sentralnya, maka irisannya berupa berkas lingkaran yang garis kuasanya adalah garis potong dengan bidang kuasa berkas tersebut. Contoh: Tentukan persamaan bola yang menyinggung  S 1 :  x² + y² + z²  –   x + 3 y  +  2 z  –  3  = 0 pada titik (1, 1,  –1) dan melalui titik O. • S menyinggung  S 1 :  x² + y² + z²  –   x + 3 y  +  2 z  –  3  = 0 pada titik (1, 1,  –1), berarti S me...
Read more »