Ekspansi Binomial Newton untuk Interpolasi Nilai yang Hilang
Misalkan fungsi y = f(x) diberikan untuk nilai-nilai argumen x₀, x₁, x₂, ..., xₙ yang berjarak sama, dan y₀, y₁, y₂, ..., yₙ melambangkan nilai-nilai fungsi yang bersesuaian. Jika satu atau lebih nilai y (nilai fungsi) hilang, kita dapat menentukan nilai-nilai yang hilang tersebut dengan menggunakan hubungan antara operator E(Geser) dan Δ(Selisih depan).
Rumus Ekspansi Binomial Newton (Newton's Binomial Expansion Formula)
Misalkan y₀, y₁, y₂, ..., yₙ melambangkan nilai-nilai fungsi y = f(x) yang bersesuaian dengan nilai-nilai x₀, x₀ + h, x₀ + 2h, ..., x₀ + nh dari x. Asumsikan salah satu nilai y hilang (misalnya, yₖ hilang), dan kita tahu ada n nilai fungsi yang diketahui (misalnya, jika kita punya n + 1 total titik data, dan satu hilang, maka n sisanya diketahui). Kita bisa mengasumsikan bahwa selisih ke-n adalah nol, yaitu:
Δⁿy₀ = 0 Atau (E – 1)ⁿy₀ = 0
Menguraikan Persamaan di atas, kita dapatkan (berdasarkan Teorema Binomial Newton):
Persamaan di atas sangat berguna dalam menentukan nilai-nilai yang hilang tanpa perlu membuat tabel selisih secara aktual.
Contoh Soal
Sebuah perusahaan teknologi sedang melakukan pengujian pada beberapa titik data untuk mengukur kinerja prosesor dalam rentang waktu tertentu. Data yang diperoleh dari pengujian tersebut adalah sebagai berikut:
|
Waktu
(detik) |
0 |
3 |
4 |
5 |
|
Kinerja
Prosesor |
4 |
7 |
32 |
79 |
Solusi:
Misal t melambangkan waktu (time) dan p melambangkan kinerja (performance).
Diberikan p₀ = 4, p₃ = 7, p₄ = 32, dan p₅ = 79. Asumsikan p = f(t).
Dikarenakan ada 2 titik hilang, ambil 2 pangkat tertinggi yaitu 4 dan 5.
Δ⁴p₀ = 0
(E – 1)⁴p₀ = 0
(E⁴ – 4E³ + 6E² – 4E + 1)p₀ = 0
p₄ – 4p₃ + 6p₂ – 4p₁ + p₀ = 0
32 – 4·7 + 6p₂ – 4p₁ + 4 = 0
6p₂ – 4p₁ = –8
3p₂ – 2p₁ = –8 ...(i)
Δ⁵p₀ = 0
(E – 1)⁵p₀ = 0
(E⁵ – 5E⁴ + 10E³ – 10E² + 5E – 1)p₀ = 0
p₅ – 5p₄ + 10p₃ – 10p₂ + 5p₁ – p₀ = 0
79 – 5·32 + 10·7 – 10p₂ + 5p₁ – 4 = 0
–10p₂ + 5p₁ = 15
–2p₂ + p₁ = 3 ...(ii)
(i) + 2(ii) → p₂ = 2
2(i) + 3(ii) → p₁ = 7
Jadi, kinerja prosesor pada saat 1 detik adalah 7 dan pada saat 2 detik adalah 2.
Komentar
Posting Komentar