Interpolasi Gauss: Selisih Depan dan Belakang Gauss

1. Interpolasi Selisih Depan Gauss

Ingat kembali rumus interpolasi selisih depan Newton:

dengan p = (x – x₀)/h.

Dalam menurunkan rumus interpolasi depan Gauss, kita berasumsi selisih-selisih terletak pada garis padat bawah dalam tabel dan memiliki bentuk:

yₖ = y₀ + G₁Δy₀ + G₂Δ²y₋₁ + G₃Δ³y₋₁ + G₄Δ⁴y₋₂ + ...

Di mana G₁, G₂, ..., Gₙ adalah koefisien yang akan ditentukan.

Dari Rumus Interpolasi Depan Newton, kita memiliki yₖ = Eᵏy₀ = (1 + Δ)ᵏy₀

Dengan membandingkan rumus ini dengan ekspansi dalam selisih maju (menggunakan hubungan operator: Δ²y₋₁ = Δ²y₀ – Δ³y₀ + Δ⁴y₀ – ..., dst.), kita peroleh koefisien:

Oleh karena itu, rumus interpolasi maju Gauss dapat ditulis sebagai:

Rumus ini dapat digunakan untuk menginterpolasi nilai y untuk p bernilai positif yang diukur maju dari titik asal (x₀).

Persamaan terakhir dikenal sebagai Rumus Interpolasi Depan Gauss (Gauss's forward interpolation formula).

Rumus ini menggunakan selisih ganjil (odd differences) di atas garis sentral melalui y₀ dan selisih genap (even differences) pada garis sentral.

Rumus ini digunakan untuk menginterpolasi nilai fungsi untuk nilai p sedemikian rupa sehingga p positif.

2. Interpolasi Selisih Belakang Gauss

Rumus interpolasi belakang Gauss menggunakan selisih-selisih yang terletak pada garis putus-putus atas (upper dashed line) yang ada di tabel dan dapat diasumsikan berbentuk:

yₖ = y₀ + G₁'Δy₋₁ + G₂'Δ²y₋₁ + G₃'Δ³y₋₂ + G₄'Δ⁴y₋₂ + ...

Dengan mengikuti prosedur penurunan yang serupa dan membandingkan dengan Rumus Interpolasi Belakang Newton, kita temukan koefisien:

Oleh karena itu:

Persamaan terakhir dikenal sebagai Rumus Interpolasi Belakang Gauss (Gauss's backward interpolation formula).

Rumus interpolasi belakang Gauss menggunakan selisih ganjil di bawah garis sentral melalui y₀ dan selisih genap pada garis sentral.

Rumus ini digunakan untuk menginterpolasi nilai fungsi untuk nilai p yang negatif.

Contoh Soal

Data untuk energi (U) dan daya (P) dari surya panel (dalam fungsi temperatur T) disajikan pada tabel berikut:

T (°C)	U (kJ)	P (kg⋅m²⋅s⁻³)
40	250	1203
70	269	1239
100	282	1250
130	309	1274
160	337	1289

a. Cari besar energi (U) pada T = 96,5 dalam °C dengan menggunakan metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik!

T = 96,5 °C; menurut tabel, nilai T ini terletak mendekati tengah sehingga dipilih metode selisih Gauss, selanjutnya

p = (96,5 – 100)/30 = (–3,5)/30 ≈ –0,12

Karena p negatif, dipilih metode selisih belakang Gauss. Berikut ini tabel selisihnya:

T	U	sel1	sel2	sel3	sel4
40	250
		19
70	269		-6
		13		20
100	282		14		-33
		27		-13
130	309		1
		28
160	337

berikut ini perhitungannya:

≈ 282 – 1,51667 – 0,72139 + 0,3836 – 0,29801 ≈ 279,8475.

Jadi, besar energi pada T = 96,5 diestimasikan 279,8475.

b. Cari besar daya (P) pada T = 109,25 dengan menggunakan metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik!

T = 109,25 °C; menurut tabel, nilai T ini terletak mendekati tengah sehingga dipilih metode selisih Gauss, selanjutnya

p = (109,25 – 100)/30 = (9,25)/30 ≈ 0,31

Karena p positif, dipilih metode selisih depan Gauss. Berikut ini tabel selisihnya:

T	P	sel1	sel2	sel3	sel4
40	1203
		36
70	1239		-25
		11		38
100	1250		13		-60
		24		-22
130	1274		-9
		15
160	1289

berikut ini perhitungannya:

≈ 1250 + 7,4 – 1,38622 – 0,60454 – 1,18002 ≈ 1254,229.

Jadi, besar daya pada T = 109,25 diestimasikan 1254,229.