Interpolasi Lagrange

Kenalan dengan Formula Lagrange untuk Interval yang Tidak Sama

Halo Sixtyfourians!. Ketika kita berhadapan dengan data, seringkali kita perlu 'menebak' nilai di antara titik data yang sudah kita miliki. Proses ini disebut interpolasi.

Jika titik-titik data kita memiliki jarak yang rapi dan sama (disebut interval yang sama), kita punya Formula Newton, Gauss, Stirling, Bessel yang siap membantu. Namun, bagaimana jika data kita acak? Bagaimana jika jarak antar titik x tidak sama? Di sinilah Formula Lagrange tampil sebagai penyelamat!

Formula Lagrange untuk Interval yang Tidak Sama

Formula interpolasi depan dan belakang Newton hanya berlaku ketika nilai x diberikan pada interval yang sama. Pada bagian ini, Minfor menyajikan formula Lagrange yang dirancang khusus untuk interval yang tidak sama.

Misalkan y = f(x) adalah fungsi kontinu bernilai riil yang didefinisikan dalam interval [a, b]. Kita memiliki (n + 1) titik berbeda: x₀, x₁, x₂, ..., xₙ. Titik-titik ini tidak harus berjarak sama. Nilai fungsi yang bersesuaian adalah y₀, y₁, ..., yₙ. Karena kita memiliki (n + 1) nilai fungsi yang sesuai dengan (n + 1) nilai variabel independen x, kita dapat merepresentasikan fungsi y = f(x) sebagai sebuah polinomial dalam x berderajat n. Misalkan polinomial tersebut direpresentasikan oleh:

f(x) = a₀(x – x₁)(x – x₂)...(x – xₙ) + a₁(x – x₀)(x – x₂)...(x – xₙ) + a₂(x – x₀)(x – x₁)(x – x₃)...(x – xₙ) + ... + aₙ(x – x₀)(x – x₁)...(x – xₙ₋₁)

Menemukan Koefisien (a₀, a₁, ..., aₙ)

Setiap suku dalam Persamaan f(x) merupakan perkalian dari n faktor dalam x yang berderajat n. Untuk menemukan nilai koefisien, kita substitusikan nilai x ke dalam persamaan, misalnya xₖ, berakibat semua suku yang terdapat xₖ menjadi 0, sehingga tersisakan:

Dengan mensubstitusikan kembali nilai-nilai a₀, a₁, ..., aₙ ke dalam Persamaan, kita mendapatkan formula final:

Formula yang diberikan di atas inilah yang dikenal sebagai Formula Interpolasi Lagrange. Jadi, lain kali Sixtyfourians berhadapan dengan data yang intervalnya tidak teratur, jangan panik! Ingatlah nama Lagrange, dan Sixtyfourians punya alat yang tepat untuk menaklukkan tantangan tersebut. Semoga bermanfaat!

Contoh Soal

Sebuah perusahaan teknologi sedang melakukan pengujian pada beberapa titik data untuk mengukur kinerja prosesor dalam rentang waktu tertentu. Data yang diperoleh dari pengujian tersebut adalah sebagai berikut:

Waktu (detik)	0	3	4	5
Kinerja Prosesor	4	12	32	79

Prediksi kinerja prosesor pada saat 2 detik dengan menggunakan titik-titik pada tabel diatas!

Solusi:

Diberikan x = 2, sehingga

Jadi, kinerja prosesor pada saat 2 detik diprediksi 8.