Interpolasi: Muqodimah dan Selisih Berhingga

Halo, Sixtyfourians! Kali ini, kita akan membahas dua teknik keren yang berurusan dengan data: Interpolasi dan Ekstrapolasi.

Apa sih kedua teknik ini? Sederhananya, ini adalah cara para ilmuwan, analis, dan ahli matematika mengisi bagian yang hilang atau memprediksi masa depan dari sebuah data.

1. Interpolasi dan Ekstrapolasi

A. Interpolasi

Bayangkan Sixtyfourians punya data penjualan dari bulan Januari, Maret, dan Mei. Tapi, Sixtyfourians butuh data perkiraan penjualan untuk bulan Februari (yang ada di antara Januari dan Maret). Nah, di sinilah Interpolasi berperan!

• Definisi Inti: Interpolasi adalah teknik untuk memperkirakan nilai suatu fungsi untuk nilai variabel independen (misalnya, x) yang berada di antara data yang sudah kita ketahui.

• Contoh Sederhana: Jika Sixtyfourians tahu suhu pada jam 1 siang dan jam 3 sore, interpolasi akan membantu untuk menebak suhu pada jam 2 sore.

• Menurut Para Ahli: Ada yang menyebutnya sebagai estimasi paling mungkin dalam kondisi tertentu. Bahkan, Harper mendefinisikannya sebagai "membaca nilai yang terletak di antara dua titik ekstrem."

Singkatnya, interpolasi adalah seni menjahit benang-benang data untuk mengisi celah yang kosong di tengah.

B. Ekstrapolasi

Ekstrapolasi adalah kembaran interpolasi, tapi tugasnya lebih menantang: meramal masa depan (atau masa lalu) di luar batas data yang tersedia!

• Definisi Inti: Ekstrapolasi adalah proses menghitung nilai fungsi untuk nilai variabel independen (x) yang berada di luar jangkauan data yang ada.

• Contoh Sederhana: Sixtyfourians punya data penjualan tahun ini hingga bulan Desember. Ekstrapolasi membantu untuk memprediksi penjualan untuk bulan Januari tahun depan.

C. Fungsi Pengganti

Idealnya, jika kita punya rumus fungsi f(x) secara eksplisit, menghitung nilai y untuk nilai x apa pun akan sangat mudah. Tapi, bagaimana jika kita hanya punya sekumpulan titik data (x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ) tanpa mengetahui rumus f(x)-nya?.

Di sinilah kita harus mengganti fungsi f(x) yang asli dengan fungsi yang lebih sederhana, sering disebut fungsi interpolasi atau fungsi penghalus (smoothing function), yang biasanya kita beri nama φ(x). Nilai yang kita cari kemudian dihitung dari φ(x) ini.

Jika φ(x) yang kita gunakan berbentuk polinomial, maka φ(x) disebut polinomial interpolasi dan prosesnya disebut interpolasi polinomial.

2. Asumsi Penting dalam Interpolasi

Agar hasil interpolasi kita akurat dan dapat dipercaya, kita biasanya membuat dua asumsi dasar ini:

• Tidak Ada Perubahan Drastis: Kita berasumsi bahwa selama periode yang kita teliti, nilai variabel dependen (y) tidak mengalami lonjakan atau penurunan mendadak. Semuanya bergerak secara wajar.

• Perubahan yang Seragam: Kita menganggap bahwa tingkat perubahan (rate of change) data dari satu periode ke periode berikutnya cenderung seragam (tidak terlalu liar).

Di postingan blog berikutnya, kita akan mempelajari bagaimana interpolasi ini dihitung menggunakan konsep yang disebut kalkulus beda hingga (calculus of finite differences).

Nantikan pembahasan tentang formula-formula interpolasi penting, seperti formula yang didasarkan pada selisih depan (forward), selisih belakang (backward), dan selisih tengah (central differences)!

3. Selisih Depan / Forward Difference

Operator selisih depan atau disingkat operator selisih dilambangkan dengan ∆ dan dapat didefinisikan sebagai:

∆ f(x) = f(x + h) – f(x)

Atau jika ditulis dalam bentuk variabel y, di mana x = xᵢ, Persamaan di atas menjadi:

∆f(xᵢ) = f(xᵢ + h) – f(xᵢ) atau ∆yᵢ = yᵢ₊₁ - yᵢ; untuk i = 0, 1, 2, ..., n – 1

Selisih dari selisih-selisih pertama disebut sebagai selisih kedua (second differences) dan dilambangkan dengan ∆²y₀, ∆²y₁, ∆²y₂, dst. Oleh karena itu:

∆²y₀ = ∆y₁ – ∆y₀ = (y₂ – y₁) – (y₁ – y₀) = y₂ – 2y₁ + y₀

∆²y₁ = ∆y₂ – ∆y₁ = (y₃ – y₂) – (y₂ – y₁) = y₃ – 2y₂ + y₁

∆³y₀ = ∆²y₁ – ∆²y₀ = (y₃ – 2y₂ + y₁) – (y₂ – 2y₁ + y₀) = y₃ – 3y₂ + 3y₁ – y₀

∆³y₁ = y₄ – 3y₃ + 3y₂ – y₁, dan seterusnya.

Secara umum, kita dapatkan:

∆ⁿ⁺¹f(x) = ∆[∆ⁿf(x)], yaitu ∆ⁿ⁺¹yᵢ = ∆[∆ⁿyᵢ], n = 0, 1, 2, ...

Juga, ∆ⁿ⁺¹f(x) = ∆ⁿ[f(x + h) – f(x)] = ∆ⁿf(x + h) – ∆ⁿf(x), dan

∆ⁿ⁺¹yᵢ = ∆ⁿyᵢ₊₁ – ∆ⁿyᵢ, n = 0, 1, 2, ...

di mana ∆⁰ adalah operator identitas, yaitu ∆⁰f(x) = f(x) dan ∆¹ = ∆.

Berikut tabel selisih depan:

Beda maju untuk argumen x₀, x₁, ..., x₅ ditunjukkan pada Tabel. Tabel ini disebut tabel selisih diagonal atau tabel selisih depan. Suku pertama dalam adalah y₀ dan disebut suku awal (leading term). Selisih-selisih ∆y₀, ∆²y₀, ∆³y₀, dan seterusnya, disebut selisih-selisih awal (leading differences). Demikian pula, selisih-selisih dengan subscript tetap (misalnya ∆y₀, ∆y₁, ∆y₂) disebut selisih depan (forward differences).

4. Selisih Belakang (Backward Difference)

Operator beda mundur dilambangkan dengan ∇ dan didefinisikan sebagai:

∇f(x) = f(x) – f(x – h)

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai:

∇yᵢ = yᵢ – yᵢ₋₁; i = n, n – 1, ..., 1.

Atau

∇y₁ = y₁ – y₀, ∇y₂ = y₂ – y₁, ..., ∇ yₙ = yₙ – yₙ₋₁

Selisih-selisih dalam Persamaan di atas disebut selisih-selisih pertama (first differences). Selisih-selisih kedua (second differences) dilambangkan dengan ∇²y₂, ∇²y₃, ..., ∇²yₙ. Oleh karena itu:

∇²y₂ = ∇(∇y₂) = ∇(y₂ – y₁) = ∇y₂ – ∇y₁ = (y₂ – y₁) – (y₁ – y₀) = y₂ – 2y₁ + y₀

Serupa, ∇³y₃ = y₃ – 3y₂ + 3y₁ – y₀, ∇⁴y₄ = y₄ – 4y₃ + 6y₂ – 4y₁ + y₀, dan seterusnya.

Secara umum, kita dapatkan:∇ᵏyᵢ = ∇ᵏ⁻¹yᵢ – ∇ᵏ⁻¹yᵢ₋₁; i = n, n – 1, ..., k

di mana ∇⁰yᵢ = yᵢ dan ∇¹yᵢ = ∇ yᵢ. Selisih-selisih belakang yang ditulis dalam bentuk tabel ditunjukkan pada tabel berikut:

Dalam tabel, selisih-selisih ∇ⁿy dengan subscript i yang tetap terletak di sepanjang diagonal yang miring ke atas.

5. Selisih Tengah (Central Difference)

Operator selisih tengah dilambangkan dengan simbol δ dan didefinisikan sebagai:

δf(x) = f(x + h/2) – f(x – h/2)

di mana h adalah interval selisih.

Dalam bentuk variabel y, selisih pertama ditulis sebagai:

δyᵢ = y_i+½ – y_i–½, di mana y_i+½ = f(xᵢ + h/2) dan y_i–½ = f(xᵢ – h/2). Oleh karena itu:

δy_½ = y₁ – y₀, δy_3/2 = y₂ – y₁, ..., δy_n–½ = yₙ – yₙ₋₁.

Selisih tengah kedua (second central differences) diberikan oleh:

δ²yᵢ = δy_i+½ – δy_i–½ = (yᵢ₊₁ – yᵢ) – (yᵢ – yᵢ₋₁) = yᵢ₊₁ – 2yᵢ + yᵢ₋₁

Generalisasi δⁿyᵢ = δⁿ⁻¹y_i+½ – δⁿ⁻¹y_i–½ 

Tabel selisih tengah untuk argumen x₀, x₁, ..., x₆ ditunjukkan dalam tabel berikut:

7. Sifat-Sifat Operator Selisih Depan

A. Selisih konstanta adalah 0

Untuk sebarang konstanta c, berlaku ∆c = 0.

B. Sifat Distributif

∆[f(x) + g(x)] = ∆f(x) + ∆g(x)

C. Sifat Homogen

Misal c konstanta, berlaku ∆[c·f(x)] = c·∆f(x)

D. Sifat Eksponentoid

∆ᵐ∆ⁿf(x) = ∆ᵐ⁺ⁿf(x)

E. Aturan Perkalian

∆[f(x)·g(x)] = g(x)·∆f(x) + f(x)·∆g(x)

F. Aturan Pembagian

8. Operator Lainnya

A. Operator geser / shift operator

Operator geser didefinisikan sebagai:

Ef(x) = f(x + h) atau Eyᵢ = yᵢ₊₁

Oleh karena itu, operator geser menggeser nilai fungsi yᵢ ke nilai yang lebih tinggi berikutnya, yᵢ₊₁. Operator geser kedua menghasilkan:

E²f(x) = E[Ef(x)] = E[f(x + h)] = f(x + 2h)

E adalah linear dan mematuhi hukum indeks (law of indices). Secara umum:

Eⁿf(x) = f(x + nh) atau Eⁿyᵢ = yᵢ₊ₙ

Operator geser invers E⁻¹ didefinisikan sebagai:

E⁻¹f(x) = f(x – h)

Dengan cara yang serupa, operator invers kedua dan yang lebih tinggi diberikan oleh:

E⁻²f(x) = f(x – 2h) dan E⁻ⁿf(x) = f(x – nh)

Bentuk operator E yang lebih umum diberikan oleh:

Eʳf(x) = f(x + rh), di mana r adalah bilangan real.

B. Operator rerata / average operator

Operator rerata didefinisikan sebagai:

µf(x) = ½[f(x + h/2) + f(x − h/2)]

µyᵢ = ½[y_i+½ + y_i–½]

C. Operator diferensial

Operator diferensial didefinisikan sebagai:

Df(x) = f'(x)

D²f(x) = f''(x), dan seterusnya sehingga

Dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)

D. Hubungan operator geser dan diferensial

Di sini h adalah interval beda (difference interval). Untuk menghubungkan berbagai operator dengan operator diferensial D (di mana D berarti d/dx atau turunan), kita mempertimbangkan rumus Taylor (Taylor's formula):

f(x + h) = f(x) + hf'(x) + h²f''(x)/2! + ...

Dalam notasi operator, kita dapat menuliskannya sebagai:

Ef(x) = [1 + hD + (hD)²/2! + ...]f(x)

Deret dalam kurung siku ini adalah ekspresi untuk eksponensial, dan oleh karena itu kita dapat menulis:

E = e^hD 

Hubungan ini dapat digunakan oleh program simbolik seperti Maple atau Mathematica untuk menganalisis akurasi skema beda hingga.

E. Hubungan antar operator

1. ∆ = E∇ = ∇E = δE^1/2 

2. ∆∇ = ∆∇ = δ²

Selengkapnya di tabel berikut: