Interpolasi Selisih Belakang Newton

Rumus interpolasi depan Newton tidak cocok untuk menginterpolasi nilai y yang dekat dengan akhir dari tabel nilai. Misalkan y = f(x) adalah fungsi yang mengambil nilai y₀, y₁, y₂, ..., yₙ yang bersesuaian dengan nilai x₀, x₁, x₂, ..., xₙ dari variabel independen x. Misalkan nilai-nilai x berjarak sama dengan h sebagai interval selisih. Artinya:

xᵢ = x₀ + ih,; i = 0, 1, 2, ..., n

Misalkan φ(x) adalah polinomial berderajat ke-n dalam x yang mengambil nilai yang sama dengan y yang bersesuaian dengan x = x₀, x₁, ..., xₙ. Artinya, φ(x) merepresentasikan y = f(x) sedemikian rupa sehingga f(xᵢ) = φ(xᵢ), untuk i = 0, 1, 2, ..., n. Oleh karena itu, kita dapat menulis φ(x) sebagai:

φ(xᵢ) = yᵢ; i = n, n - 1, ..., 1, 0

dan xₙ₋ᵢ = xₙ – ih; i = 1, 2, ..., n

Misalkan φ(x) didefinisikan dalam bentuk selisih belakang, berpusat di xₙ:

φ(x) = a₀ + a₁(x – xₙ) + a₂(x – xₙ)(x – xₙ₋₁) + ... + aₙ(x – xₙ)(x – xₙ₋₁)...(x – x₀)

Mensubstitusikan x = xₙ, xₙ₋₁, ..., x₁, x₀ secara berturut-turut, kita peroleh:

Untuk x = xₙ:

a₀ = yₙ

Untuk x = xₙ₋₁:

yₙ₋₁ = a₀ + a₁(xₙ₋₁ – xₙ) Atau

Serupa, kita peroleh:

Mensubstitusikan nilai-nilai a₀, a₁, ..., aₙ ke dalam Persamaan φ(x) awal, kita peroleh:

Misal p = (x – xₙ)/h, dan jika diteruskan akan diperoleh:

p + i = (x – xₙ₋ᵢ)/h

sehingga φ(x) menjadi:

Rumus ini disebut Rumus Interpolasi Belakang Newton (Newton's backward interpolation formula).

Catatan:

• Rumus ini digunakan untuk menginterpolasi nilai y yang dekat dengan akhir dari tabel nilai.

• Rumus ini juga digunakan untuk mengekstrapolasi nilai y yang sedikit lebih dari yₙ.

Contoh Soal

Percepatan suatu pesawat dalam fungsi waktu disajikan pada tabel berikut:

t	a
7	5,25
22	6,58
37	7,32
52	9,24
67	12,50
82	15,05
97	16,55

Tentukan percepatan pesawat tersebut saat t = 95,5.

Solusi:

Diberikan T = 95,5 yang mana nilai ini terletak mendekati akhir (karena 82 < 95,5 < 97), sehingga metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik adalah metode selisih depan Newton.

p = (95,5 – 97)/(97 – 82) = –0,1

Berikut ini tabel selisihnya:

t	a	sel1	sel2	sel3	sel4	sel5	sel6
7	5,25
		1,33
22	6,58		–0,59
		0,74		1,77
37	7,32		1,18		–1,61
		1,92		0,16		–0,6
52	9,24		1,34		–2,21		4,52
		3,26		–2,05		3,92
67	12,5		–0,71		1,71
		2,55		–0,34
82	15,05		–1,05
		1,5
97	16,55

berikut ini perhitungannya:

≈ 16,55 – 0,15 + 0,04725 + 0,00969 – 0,03533 – 0,06318 – 0,05949 ≈ 16,29894.

Jadi, percepatan pesawat tersebut saat t = 95,5 adalah 16,29894.