Interpolasi Selisih Depan Newton

Misalkan y = f(x) adalah fungsi kontinu yang sesuai dengan nilai y₀, y₁, y₂, ..., yₙ. Kumpulan ini adalah (n+1) nilai fungsi dari variabel independen x, yang diberikan pada xᵢ = x₀ + ih, untuk i = 0, 1, 2, ..., n, di mana h adalah jarak antar titik (spacing). Misalkan φ(x) adalah polinomial berderajat ke-n dalam x yang mengambil nilai yang sama dengan y yang bersesuaian dengan x, sedemikian rupa sehingga f(xᵢ) = φ(xᵢ) untuk i = 0, 1, 2, ..., n. Maka, φ(x) merepresentasikan fungsi kontinu y = f(x) sehingga pada semua titik lain f(x) = φ(x) + R(x), di mana R(x) disebut suku galat (error term) atau suku sisa (remainder term) dari rumus interpolasi. Kita misalkan φ(x) sebagai:

φ(x) = a₀ + a₁(x – x₀) + a₂(x – x₀)(x – x₁) + a₃(x – x₀)(x – x₁)(x – x₂) + ... + aₙ(x – x₀)(x – x₁)...(x – xₙ₋₁) dan

φ(xᵢ) = yᵢ; i = 0, 1, 2, ..., n

Konstanta a₀, a₁, a₂, ..., aₙ dapat ditentukan sebagai berikut:

Dengan mensubstitusikan x = x₀, x₁, x₂, ... secara berturut-turut ke dalam Persamaan di atas, kita dapatkan:

Untuk x = x₀:

y₀ = a₀

Untuk x = x₁:

y₁ = a₀ + a₁(x₁ – x₀) Atau y₁ = y₀ + a₁(x₁ – x₀), menggunakan y₀ = a₀

Maka, a₁ adalah:

Selanjutnya y₂ = a₀ + a₁(x₂ – x₀) + a₂(x₂ – x₀)(x₂ – x₁)

⇔ y₂ – a₀ – a₁(x₂ – x₀) = a₂(x₂ – x₀)(x₂ – x₁)

jika diteruskan, akan diperoleh:

Masukkan ke φ(x), diperoleh:

Misal p = (x – x₀)/h

p – 1 = (x – x₀)/h – 1 = (x – x₀ – h)/h = (x – x₁)/h, jika diteruskan, akan diperoleh:

p – i = (x – xᵢ)/h

sehingga φ(x) menjadi:

Rumus ini disebut Rumus Interpolasi Depan Newton (Newton's forward interpolation formula).

Catatan:

• Interpolasi selisih depan Newton sangat cocok untuk mengestimasi nilai yang dekat dengan awal.

• Metode ini juga cocok untuk mengekstrapolasi nilai yang sedikit kurang dari nilai awal.

Contoh Soal

Diberikan data untuk daya (P) dari surya panel (dalam fungsi temperatur T) disajikan pada tabel berikut:

T (°C)	P (kg⋅m²⋅s⁻³)
40	1203
70	1239
100	1250
130	1274
160	1289

Cari besar daya (P) pada T = 47,75 dengan menggunakan metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik!

Solusi:

Diberikan T = 47,75 yang mana nilai ini terletak mendekati awal (karena 40 < 47,75 < 70), sehingga metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik adalah metode selisih depan Newton.

p = (47,75 – 40)/(70 – 40) ≈ 0,26

Berikut ini tabel selisihnya:

T	P	sel1	sel2	sel3	sel4
40	1203
		36
70	1239		–25
		11		38
100	1250		13		–60
		24		–22
130	1274		–9
		15
160	1289

berikut ini perhitungannya:

≈ 1203 + 9,3 + 2,395 + 2,113 + 2,287 ≈ 1219,096.

Jadi, besar daya pada T = 47,75 diestimasikan 1219,096.