Interpolasi Stirling dan Bessel

1. Tabel Selisih Tengah

Misalkan fungsi y = yₓ = f(x) diberikan untuk (2n + 1) nilai argumen yang berjarak sama (equispaced), yaitu x₀, x₀ ± h, x₀ ± 2h, ..., x₀ ± nh. Nilai-nilai y yang bersesuaian adalah yᵢ (i = 0, ± 1, ± 2, ..., ± n). Juga, misalkan y = y₀ melambangkan ordinat tengah yang bersesuaian dengan x = x₀. Kita kemudian dapat membentuk tabel selisih seperti yang ditunjukkan dalam tabel berikut:

Tabel setelahnya menunjukkan tabel yang sama, tetapi ditulis menggunakan operator Sheppard Δ, di mana hubungan Δ = δE^½ digunakan.

Tabel-tabel tersebut dikenal sebagai tabel selisih tengah (central difference tables).

2. Interpolasi Stirling

Dengan mempertimbangkan rata-rata aritmetik dari Rumus Interpolasi Depan dan Belakang Gauss, kita peroleh:

Persamaan di atas dikenal sebagai Rumus Stirling.

Dalam notasi selisih tengah, Rumus Stirling yang diberikan oleh Persamaan di atas menjadi:

Rumus Stirling memberikan hasil yang paling akurat untuk nilai p dalam rentang –0,25 < p < 0,25 meski kita boleh menggunakannya untuk –0,5 < p < 0,5. Oleh karena itu, x₀ (titik asal) harus dipilih sedemikian rupa sehingga p = (x – x₀)/h memenuhi pertidaksamaan ini.

3. Interpolasi Bessel

Rumus ini melibatkan rata-rata selisih genap pada dan di bawah garis tengah, dan selisih ganjil di bawah garis (dalam tabel selisih tengah).

Rumus Interpolasi Selisih Depan Newton diberikan oleh:

Rumus Bessel berbentuk:

Rumus Bessel memberikan hasil yang lebih baik (lebih akurat) untuk nilai p dalam rentang ¼ < p < ¾.

Catatan: Rumus ini ideal untuk nilai x yang berada di tengah interval sentral, karena p mendekati 0,5.

Contoh Soal

1. Data untuk energi (U) dari surya panel (dalam fungsi temperatur T) disajikan pada tabel berikut:

T (°C)	U (kJ)
40	250
70	269
100	282
130	309
160	337

Cari besar energi (U) pada T = 83,5 dalam °C dengan menggunakan metode yang tepat untuk menghasilkan estimasi terbaik!

Misal dipilih titik acuannya t₀ = 70, diperoleh p = (83,5 – 70)/30 = 13,5/30 = 0,45.

Karena 0,25 < p = 0,45 < 0,75 gunakan rumus Bessel. Berikut ini tabel selisihnya:

T	U	sel1	sel2	sel3	sel4
40	250
		19
70	269		-6
		13		20
100	282		14		-33
		27		-13
130	309		1
		28
160	337

berikut ini perhitungannya:

≈ 275,5 – 0,65 – 0,495 + 0,04125 ≈ 274,3963.

Jadi, besar energi pada T = 83,5 diestimasikan 274,3963.

2. Percepatan suatu pesawat dalam fungsi waktu disajikan pada tabel berikut:

t	a
7	5,25
22	6,58
37	7,32
52	9,24
67	12,50
82	15,05
97	16,55

Tentukan percepatan pesawat tersebut saat t = 70.

Misal dipilih titik acuannya t₀ = 67, diperoleh p = (70 – 67)/15 = 3/15 = 0,2.

Karena –0,25 < p = 0,2 < 0,25 gunakan rumus Stirling. Berikut ini tabel selisihnya:

t	a	sel1	sel2	sel3	sel4	sel5	sel6
7	5,25
		1,33
22	6,58		-0,59
		0,74		1,77
37	7,32		1,18		-1,61
		1,92		0,16		-0,6
52	9,24		1,34		-2,21		4,52
		3,26		-2,05		3,92
67	12,5		-0,71		1,71
		2,55		-0,34
82	15,05		-1,05
		1,5
97	16,55

berikut ini perhitungannya:

≈ 12,5 + 0,581 – 0,0142 + 0,03824 – 0,00274 ≈ 13,1023.

Jadi, percepatan pesawat pada T = 70 diestimasikan 13,1023.