Metode Iterasi Sederhana untuk Mengaproksimasi Akar Fungsi
Mengenal Metode Iterasi Sederhana
Hai Sixtyfourians! Pernah kesulitan mencari akar dari suatu persamaan yang rumit? Tenang, ada metode mudah yang bisa dipakai, namanya Metode Aproksimasi Berurutan atau sering juga disebut Metode Iterasi Titik Tetap (Fixed-Point Iteration). Metode ini adalah salah satu teknik andalan dalam komputasi numerik!. Mari kita bahas tuntas bagaimana cara kerjanya dan apa rahasia di balik konvergensinya!
Mengubah Persamaan Jadi Bentuk Iteratif
Misalnya kita punya persamaan f(x) = 0 dan kita mau cari akarnya (α). Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah mengubah persamaan tersebut ke dalam bentuk x = φ(x). Ini penting banget! Bentuk x = φ(x) inilah yang akan kita gunakan untuk proses iterasi (pengulangan).
Proses Aproksimasi Berurutan
Setelah kita punya bentuk x = φ(x), kita mulai tebakan awal.
1. Tebakan Awal (Initial Approximation): Pilih nilai awal, sebut saja x₀.
2. Aproksimasi Pertama: Kita hitung nilai x₁ menggunakan tebakan awal tadi, x₁ = φ(x₀)
3. Aproksimasi Berikutnya: Nilai x₁ yang baru kita dapatkan digunakan untuk menghitung x₂, dan seterusnya!
Secara umum, aproksimasi ke-n dihitung dari aproksimasi ke-(n–1) dengan rumus:
xₙ = φ(xₙ₋₁)
Ini adalah proses yang diulang terus menerus! Tujuannya agar urutan nilai x₁, x₂, x₃,... ini mendekati (konvergen) ke akar sejati α.
Kapan Iterasi Berhasil?
Pertanyaannya, kapan urutan aproksimasi ini PASTI akan bertemu dengan akar α? Inilah intinya, ada syarat mutlak yang harus dipenuhi, yaitu:
Jika |φ'(x)| < 1 di interval yang memuat α, maka konvergensi dijamin!
Catatan: φ'(x) adalah turunan pertama dari φ(x) terhadap x. Kenapa harus kurang dari 1? Ini adalah kunci agar setiap langkah iterasi membawa kita lebih dekat ke akar, bukan malah menjauh!
Hal ini didasarkan pada teorema berikut:
Misalkan α adalah akar dari f(x) = 0 yang setara dengan x = φ(x). Jika φ(x) adalah fungsi yang terdiferensiasi secara kontinu dalam interval I yang mengandung akar x = α, dan jika |φ'(x)| < 1, maka urutan aproksimasi x₀, x₁, x₂, ..., xₙ akan konvergen menuju akar α asalkan aproksimasi awal x₀ berada di dalam interval I.
Contoh Soal
Diberikan f(x) = x³ + 4x² – 4, akan dicari akar-akarnya menggunakan metode iterasi sederhana.
• Percobaan pertama
x³ + 4x² – 4 = 0 ⇔ x³ = 4 – 4x² ⇔ x = 4/x² – 4
Diperoleh φ(x) = 4/x² – 4 ⇒ φ'(x) = –8/x³
Misal dipilih x₀ = –4 ⇒ |φ'(–4)| = |–8/(–4)³| = 0,125 < 1, berarti konvergen. Lakukan iterasi dengan xₙ₊₁ = φ(xₙ) sebagai berikut:
|
No |
xₙ |
xₙ₊₁ |
|
0 |
–4 |
–3,75 |
|
1 |
–3,75 |
–3,715556 |
|
2 |
–3,715556 |
–3,710257 |
|
3 |
–3,710257 |
–3,709429 |
|
4 |
–3,709429 |
–3,709299 |
|
5 |
–3,709299 |
–3,709279 |
|
6 |
–3,709279 |
–3,709276 |
|
7 |
–3,709276 |
–3,709275 |
• Percobaan kedua
x³ + 4x² – 4 = 0 ⇔ x² = (4 – x³)/4 = 1 – x³/4 ⇔ x = 1/x – x²/4
Diperoleh φ(x) = 1/x – x²/4 ⇒ φ'(x) = –1/x² – x/2
Misal dipilih x₀ = –1 ⇒ |φ'(–1)| = |–1/(–1)² – (–1)/2| = 0,5 < 1, berarti konvergen. Lakukan iterasi dengan xₙ₊₁ = φ(xₙ) sebagai berikut:
|
No |
xₙ |
xₙ₊₁ |
|
0 |
–1 |
–1,25 |
|
1 |
–1,25 |
–1,190625 |
|
2 |
–1,190625 |
–1,194292 |
|
3 |
–1,194292 |
–1,1939 |
|
4 |
–1,1939 |
–1,193940 |
|
5 |
–1,193940 |
–1,193936 |
|
6 |
–1,193936 |
–1,193937 |
• Percobaan ketiga
x³ + 4x² – 4 = 0 ⇔ x² = (4 – x³)/4 ⇔ x = ½√(4 – x³)
Diperoleh φ(x) = x = ½√(4 – x³) ⇒ φ'(x) = –3x²/[4√(4 – x³)]
Misal dipilih x₀ = 1 ⇒ |φ'(1)| = |–3·1²/[4√(4 – 1³)]| = 0,433 < 1, berarti konvergen. Lakukan iterasi dengan xₙ₊₁ = φ(xₙ) sebagai berikut:
|
No |
xₙ |
xₙ₊₁ |
|
0 |
1,000000 |
0,866025 |
|
1 |
0,866025 |
0,915216 |
|
2 |
0,915216 |
0,899082 |
|
3 |
0,899082 |
0,904603 |
|
4 |
0,904603 |
0,902740 |
|
5 |
0,902740 |
0,903372 |
|
6 |
0,903372 |
0,903158 |
|
7 |
0,903158 |
0,903230 |
|
8 |
0,903230 |
0,903206 |
|
9 |
0,903206 |
0,903214 |
|
10 |
0,903214 |
0,903211 |
|
11 |
0,903211 |
0,903212 |
Kesimpulan: Pada kasus ini setiap akar diaproksimasi dengan iterasi yang berbeda-beda. Secara umum kita bisa memilih banyak cara untuk melakukan iterasi, baik sama maupun berbeda.
Komentar
Posting Komentar