Fungsi Variabel Kompleks

1. Fungsi Variabel Kompleks

Misalnya S ⊆ ℂ. Suatu fungsi f didefinisikan pada S adalah aturan yang mengaitkan setiap bilangan kompleks z di S dengan suatu bilangan kompleks w. Bilangan w disebut nilai dari f pada z dan dinyatakan dengan f(z), yaitu w = f(z). Himpunan S disebut daerah asal definisi (domain) dari f. Perlu diperhatikan daerah asal definisi dan aturan pengaitan untuk melihat suatu fungsi terdefinisi dengan baik. Jika daerah asal definisi tidak disebutkan, maka yang dimaksud adalah subset terbesar dari ℂ yang mungkin menjadi daerah asal.

Untuk memvisualisasi fungsi kompleks digunakan dua bidang, masing-masing untuk daerah asal dan untuk daerah hasil.

Contoh:

Misal didefinisikan fungsi f dengan f(z) = 1/(z² + 4), domain dari fungsi f adalah ℂ\{–2i, 2i}, pertimbangkan bahwa untuk f(–2i) maupun f(2i) tidak terdefinisikan karena melibatkan pembagian dengan 0.

2. Bentuk Fungsi dengan Memisahkan Bagian Real dan Bagian Imajiner

A. Bentuk untuk Koordinat Kartesius

Misal w = u + iv adalah nilai dari f pada z = x + iy, sehingga u + iv = f(x + iy). Setiap bilangan riil u dan v tergantung pada variabel x dan y, dan selanjutnya f(z) dapat dinyatakan dalam bentuk pasangan terurut bilangan riil x dan y. Berikut ini bentuk umumnya:

f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y)

Contoh:

Misal fungsi f didefinisikan sebagai f(z) = z³ + 2z² + 5z + 7 + i, berikut ini bentuk yang memisahkan bagian real dan bagian imajiner:

f(x + iy) = (x + iy)³ + 2(x + iy)² + 5(x + iy) + 7 + i

= x³ + 3ix²y – 3xy² – iy³ + 2x² + 4ixy – 2y² + 5x + 5iy + 7 + i

= (x³ – 3xy² + 2x² – 2y² + 5x + 7) + i(3x²y – y³ + 4xy + 5y + 1)

Jadi, u = x³ – 3xy² + 2x² – 2y² + 5x + 7 dan v = 3x²y – y³ + 4xy + 5y + 1.

B. Bentuk untuk Koordinat Polar

Jika koordinat polar r dan θ digunakan, maka u + iv = f(re^iθ) dengan w = u + iv dan z = re^iθ. Dalam hal ini kita tulis f(z) = u(r, θ) + iv(r, θ).

Contoh:

Jika f(z) = z² maka f(x + iy) = (x + iy)² = x² – y² + i2xy sehingga u(x, y) = x² – y² dan v(x, y) = 2xy.

Jika koordinat polar digunakan, f(re^iθ) = (re^iθ)² = r²e^i2θ = r²·cos(2θ) + ir²·sin(2θ), konsekuensinya

u(r, θ) = r²·cos(2θ) dan v(r, θ) = r²·sin(2θ).

3. Fungsi Polinomial dan Fungsi Rasional

Jika n ∈ ℕ dan jika a₀, a₁, ..., aₙ adalah konstanta kompleks dengan aₙ ≠ 0, maka fungsi

P(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + aₙzⁿ

adalah polinomial berderajat n. Catat bahwa penjumlahan tersebut memiliki berhingga suku dan domain definisinya adalah seluruh bidang kompleks. Hasil bagi polinomial P(z)/Q(z) disebut fungsi rasional dan Q(z) ≠ 0. Fungsi polinomial dan rasional adalah kelompok fungsi variabel kompleks yang elementer (dasar).

4. Fungsi Bernilai Banyak

A. Definisi

Meskipun secara standar fungsi didefinisikan sebagai aturan yang menghasilkan nilai tunggal, dalam teori fungsi variabel kompleks dikenal istilah fungsi bernilai banyak. Ini adalah aturan yang mengaitkan lebih dari satu nilai untuk suatu titik z pada daerah asal definisinya.

Contoh:

Akar Pangkat Dua (z¹ᐟ²): Memiliki dua nilai, yaitu ±√r·exp(iθ/2).

Akar Pangkat Enam (w = z¹ᐟ⁶): Untuk setiap z yang bukan nol, fungsi ini memiliki enam nilai berbeda. Secara ketat, menurut definisi standar, aturan ini bukanlah sebuah fungsi karena ketidaktunggalan nilainya.

B. Konsep Cabang (Branch)

Untuk tetap dapat menggunakan definisi dan hukum fungsi standar, kita menggunakan apa yang disebut dengan cabang. Cabang adalah bagian dari fungsi bernilai banyak yang dipilih sedemikian rupa sehingga masing-masing menjadi fungsi bernilai tunggal.

Sebagai contoh, pada fungsi f(z) = z¹ᐟ², kita dapat membentuk sebuah cabang dengan memilih nilai positif dari ±√r dan membatasi rentang sudutnya (nilai utama) sebagai berikut:

f(z) = √r·exp(iθ/2); dengan r > 0 dan –π < Θ ≤ π

Fungsi bernilai tunggal ini terdefinisi dengan baik pada seluruh bidang kompleks (termasuk f(0) = 0). Karena dalam analisis kompleks kita selalu bekerja dengan salah satu cabangnya, maka kita tetap dapat menerapkan teori-teori fungsi pada aturan bernilai banyak tersebut.

5. Transformasi Fungsi Kompleks

Untuk memudahkan pembahasannya, digunakan contoh fungsi f dengan f(z) = ½(z + z̅) + i|z|.

A. Mulai dari Mendefinisikan Fungsi

Misal didefinisikan fungsi f dengan f(z) = ½(z + z̅) + i|z|, misal z = x + iy, diperoleh bentuk untuk f:

f(x + iy) = ½(x + iy + x – iy) + i√(x² + y²) = ½(2x) + i√(x² + y²) = x + i√(x² + y²)

dalam bentuk ini, u = x, v = √(x² + y²).

Titik (x, y) di bidang-z seolah-olah ditransformasikan oleh f ke (u, v) di bidang-w, oleh karena itu f disebut sebagai transformasi dari bidang-z ke bidang-w.

B. Transformasi Lingkaran L ke Garis Lurus

Jika kita memiliki lingkaran L di bidang-z dengan jari-jari a (persamaan x² + y² = a²):

Hasilnya: Lingkaran tersebut berubah menjadi sebuah segmen garis horisontal di bidang-w.

Persamaan Garis: v = a, dengan batasan –a ≤ u ≤ a.

Hasil ini diperoleh dari v = √(x² + y²) = √(a²) = |a| = a, karena a > 0.

C. Transformasi Lingkaran yang Lebih Umum

Jika seluruh bidang-z dianggap sebagai kumpulan lingkaran konsentris dengan jari-jari a ≥ 0:

• Setiap lingkaran Lₐ menjadi segmen garis horisontal v = a.

• Gabungan semua garis ini membentuk daerah di bidang-w yang dibatasi oleh:

v ≥ 0 (di atas sumbu real).

–v ≤ u ≤ v$ (daerah di antara garis v = u dan v = –u).

• Kesimpulan Geometris: Bayangan dari seluruh bidang-z adalah daerah berbentuk seperempat bidang di bagian atas bidang-w yang menyerupai huruf "V" yang diarsir.

Perhatikan gambar berikut:

Busur atas lingkaran (ABC) dipetakan menjadi garis A'C'.

Busur bawah lingkaran (CDA) dipetakan menjadi garis yang sama (C'A').

Karena dua bagian berbeda di bidang-z menghasilkan bayangan yang sama di bidang-w, maka fungsi ini bukan korespondensi 1-1 pada seluruh lingkaran.