Kekontinuan Fungsi Kompleks

Halo Sixtyfourians! Kita akan membahas topik krusial dalam analisis kompleks, yaitu Kekontinuan Fungsi. Memahami konsep ini sangat penting karena menjadi fondasi sebelum mempelajari turunan, fungsi analitik, dan integrasi kompleks.

1. Definisi

A. Definisi Intuitif

Sederhananya, sebuah fungsi f dikatakan kontinu di titik z₀ jika tidak ada "lompatan" atau "lubang" pada titik tersebut, yang berarti fungsi f terdefinisi di suatu titik z₀, dan titik-titik di sekitarnya semakin mendekati z₀ nilai fungsi f semakin mendekati f(z₀). Secara matematis, ada tiga syarat yang wajib dipenuhi:

• Nilai f(z₀) terdefinisi

• Nilai limit fungsi f menuju z₀ ada

• Nilai limit fungsi f menuju z₀ sama dengan nilai f(z₀)

B. Definisi Formal

Ingat kembali definisi limit fungsi. Pada pembahasan kekontinuan fungsi, perbedaan antara definisi limit dengan definisi kekontinuan adalah kekontinuan fungsi f di z₀ mengharuskan nilai fungsi f terdefinisi di z₀ dan nilai limitnya harus sama dengan nilai fungsi, oleh karena itu berikut ini definisi formal kekontinuan fungsi:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀z ∈ D). |z – z₀| < δ ⇒ |f(z) – f(z₀)| < ε.

Contoh: Buktikan bahwa fungsi f dengan f(z) = 2z + i kontinu di 3i.

f(3i) = 2·3i + i = 7i

Ambil sebarang ε > 0, pilih δ = ε/2, sehingga (∀z ∈ ℂ). |z – 3i| < δ ⇒ |2z + i – 7i| = |2z – 6i| = 2|z – 3i|

< 2ε/2 = ε.

2. Sifat-Sifat Aljabar Fungsi Kontinu

A. Sifat-Sifat Aljabar Kekontinuan Fungsi

Misalkan f dan g fungsi-fungsi yang kontinu di z₀ ∈ ℂ, dan misalkan c ∈ ℂ, berlaku sifat-sifat berikut:

• f + g kontinu di z₀

• f – g kontinu di z₀

• cf kontinu di z₀

• fg kontinu di z₀

• f/g kontinu asalkan g(z₀) ≠ 0.

• f ∘ g kontinu di z₀

B. Kekontinuan Komponen Fungsi

Setelah mengetahui sifat-sifat aljabar fungsi kontinu, kita mendapati bahwa salah satu cara mengecek kekontinuan fungsi kompleks f(z) = u(x, y) + iv(x, y) adalah dengan mengecek komponennya.

Fungsi f(z) akan kontinu jika dan hanya jika bagian riil u(x, y) dan bagian imajiner v(x, y) keduanya kontinu di titik tersebut.

Ini benar menurut sifat penjumlahan, pengurangan, dan perkalian skalar fungsi kontinu.

C. Kekontinuan Fungsi Polinomial

Misal fungsi polinomial P dengan P(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + aₙzⁿ. Dikarenakan fungsi polinomial merupakan hasil operasi aljabar dari fungsi-fungsi yang kontinu pada ℂ, hal ini juga berlaku untuk fungsi polinomial. Jadi, fungsi polinomial kontinu pada ℂ.

D. Kekontinuan Fungsi Rasional

Misal fungsi rasional f dengan f = P/Q, dimana P dan Q keduanya fungsi polinomial. Dengan sifat aljabar limit fungsi, f selalu kontinu kecuali ketika Q(z) = 0.

Contoh: Fungsi f dengan f(z) = (3z)/(2z + i) kontinu pada ℂ\{–i/2}, karena 2(–i/2) + i = 0.

3. Teorema Terkait Fungsi Kontinu

A. Teorema Nilai Tak Nol

Jika f kontinu di z₀ dan f(z₀) ≠ 0, maka terdapat kitar dari z₀ sehingga nilai fungsi f selalu taknol pada kitar tersebut.

Bukti:

Diberikan f(z₀) ≠ 0, berarti |f(z₀)| > 0.

Diberikan f kontinu di z₀, berarti untuk ε = ½|f(z₀)| > 0, (∃δ > 0) ∋ (∀z ∈ D). |z – z₀| < δ ⇒ |f(z) – f(z₀)| < ½|f(z₀)|.

Menurut ketaksamaan segitiga, |f(z)| ≥ |f(z₀)| – |f(z) – f(z₀)| > |f(z₀)| – ½|f(z₀)| = ½|f(z₀)| > 0.

Kita peroleh |z – z₀| < δ ⇒ |f(z)| > 0 ⇔ f(z) ≠ 0. Ini berarti nilai fungsi f selalu taknol pada kitar N(z₀, δ).

B. Teorema Keterbatasan

Jika sebuah fungsi kontinu bekerja pada daerah yang tertutup dan terbatas, maka nilai mutlak fungsi tersebut terbatas.

Bukti:

Diberikan fungsi f kontinu dikenakan pada daerah D yang tertutup dan terbatas.

Bagian real dan bagian imajinernya terbatas menurut teorema keterbatasan fungsi kontinu real, yang mana misal f = u + iv, maka u dan v terbatas. Berarti terdapat M₁, M₂ > 0 sehingga (∀z ∈ D). |u(x, y)| ≤ M₁ ∧ |iv(x, y)| = |v(x, y)| ≤ M₂.

Menurut ketaksamaan segitiga, |f| = |u + iv| ≤ |u| + |iv| = |u| + |v| ≤ M₁ + M₂.

Jadi, |f| terbatas oleh M₁ + M₂.

4. Fungsi Kontinu Seragam

Kekontinuan seragam adalah level kekontinuan yang lebih kuat, di mana nilai δ hanya bergantung pada ε, bukan pada lokasi titik z di dalam daerah tersebut.

A. Definisi

Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada daerah D jika untuk setiap ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga |f(z₁) – f(z₂)| < ε berlaku untuk setiap dua titik z₁ dan z₂ di D dengan |z₁ – z₂| < δ. Dapat juga dituliskan:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀z₁, z₂ ∈ D). |z₁ – z₂| < δ ⇒ |f(z₁) – f(z₂)| < ε.

Contoh:

1. Fungsi konstan selalu kontinu seragam, karena jelas bahwa |f(z₁) – f(z₂)| = 0 < ε, yang bahkan tak peduli berapapun δ yang dipilih.

2. Fungsi linear selalu kontinu seragam, dimana untuk fungsi f dengan f(z) = az + b, dapat dipilih δ dengan δ ≤ ε/|a|.

3. Fungsi kontinu pada daerah tertutup terbatas juga kontinu seragam, dimana bagian real dan bagian imajinernya masing-masing kontinu seragam. Mengenai sifat aljabar fungsi kontinu seragam akan dibahas di poin setelahnya.

B. Sifat Aljabar Fungsi Kontinu Seragam

• Penjumlahan dan pengurangan

Misal f dan g kontinu seragam, f + g dan f – g juga kontinu seragam.

• Perkalian

Misal f dan g kontinu seragam, |f| dan |g| terbatas, fg juga kontinu seragam.

• Perkalian Skalar

Misal f kontinu seragam dan c skalar, cf juga kontinu seragam.