Limit Fungsi Kompleks

1. Konsep Dasar Limit Fungsi Kompleks

A. Definisi Limit Fungsi Kompleks

Diberikan fungsi f dengan domain D dan z₀ sebagai titik limit dari D. Bilangan w₀ disebut sebagai limit dari f(z) untuk z mendekati z₀, yang ditulis secara matematis sebagai:

Pernyataan ini memiliki arti persis bahwa untuk setiap bilangan positif ε > 0 yang diberikan, terdapat bilangan positif δ > 0 sedemikian sehingga untuk semua z ∈ D berlaku |f(z) – w₀| < ε jika 0 < |z – z₀| < δ. Dapat juga dituliskan:

(∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀z ∈ D). 0 < |z – z₀| < δ ⇒ |f(z) – w₀| < ε.

B. Interpretasi Geometris

Secara geometris, definisi ini menjelaskan hubungan antara dua bidang kompleks (bidang-z dan bidang-w):

• Lingkaran di Bidang-w: Untuk setiap kitar (lingkungan) beradius ε yang berpusat di w₀.

• Lingkaran di Bidang-z: Terdapat kitar beradius δ yang berpusat di z₀.

• Pemetaan: Setiap titik z di dalam kitar-δ (kecuali mungkin di titik pusat z₀) akan memiliki bayangan f(z) yang jatuh di dalam kitar-ε tersebut.

• Catatan: Bayangan dari lingkungan z₀ tidak harus mengisi seluruh area lingkungan w₀. Jika f adalah fungsi konstan w₀, maka semua bayangan z akan menumpuk tepat di titik pusat w₀.

C. Ketentuan Penting Mengenai Titik z₀ dan δ

• Titik Limit: Syarat z₀ harus merupakan titik limit D diperlukan agar variabel z dapat mendekati z₀ sedekat mungkin.

• Eksistensi di z₀: Dalam definisi limit, fungsi f tidak harus terdefinisi di titik z₀ itu sendiri (z₀ boleh bukan anggota D).

• Nilai Fungsi: Jika pun f(z₀) terdefinisi, nilainya tidak harus sama dengan nilai limit L.

• Fleksibilitas δ: Nilai δ bergantung pada ε. Jika sebuah nilai δ telah ditemukan, maka sebarang nilai yang lebih kecil (seperti δ/2) juga memenuhi syarat tersebut.

Contoh Soal: Buktikan bahwa

Ambil sebarang ε > 0, pilih δ = min{1, ε/5}, sehingga (∀z ≠ i). 0 < |z – i| < δ maka

2. Ketunggalan Nilai Limit

A. Lemma Dekat Nol

Jika bilangan kompleks A mempunyai sifat bahwa untuk setiap ε > 0 yang diberikan berlaku |A| < ε, maka A = 0.

Bukti:

Diandaikan A ≠ 0 dan diberikan ε = |A|/2. Menurut hipotesis lema di atas maka |A| < |A|/2. Terdapat suatu kontradiksi, sebab kalau A ≠ 0 pasti tidak benar |A| < |A|/2. Jadi pengandaian kita harus salah, sehingga haruslah A = 0.

B. Teorema Ketunggalan Limit

Jika limit fungsi di suatu titik ada, maka bernilai tunggal.

Bukti:

Diandaikan ada dua limit L₁ dan L₂ dan diberikan ε > 0 sembarang. Maka terdapat δ₁ > 0 dan δ₂ > 0 dan untuk semua z ∈ D dan:

0 < |z – z₀| < δ₁ → |f(z) – L₁| < ε/2 ...(i)

0 < |z – z₀| < δ₂ → |f(z) – L₂| < ε/2 ...(ii)

Jika dipilih z₁ ∈ D dan 0 < |z₁ – z₀| < δ = min{δ₁, δ₂} maka ketaksamaan (i) dan (ii) dipenuhi untuk z = z₁, sehingga berlaku:

|L₁ – L₂| = |(L₁ – f(z₁)) + (f(z₁) – L₂)| ≤ |L₁ – f(z₁)| + |f(z₁) – L₂| < ε/2 + ε/2 = ε.

Karena ε > 0 sembarang maka menurut lemma di atas L₁ – L₂ = 0, sehingga L₁ = L₂ dan terbuktilah bahwa limit adalah tunggal.

C. Limit Fungsi pada Kurva

Teorema di atas mengatakan bahwa kalau limit fungsi ada maka limit itu tunggal. Jadi ada kemungkinan bahwa limit sesuatu fungsi itu tidak ada. Untuk membahas hal ini akan dibicarakan limit suatu fungsi yang didefinisikan pada suatu kurva. Kurva K yang merupakan garis lengkung atau lurus dapat dipandang sebagai himpunan titik-titik dalam bidang kompleks.

Jika dalam definisi limit fungsi f di atas domain definisi D diganti dengan kurva K yang mempunyai titik limit z₀, maka kita memperoleh definisi limit f(z) untuk z mendekati z₀ sepanjang kurva K. Jika K suatu kurva maka limit f(z) untuk z → z₀ sepanjang kurva K akan diberikan notasi:

D. Teorema Limit Kurva

Diberikan fungsi f dengan domain D dan z₀ suatu titik limit D. Jika limit fungsi f di z₀ ada, maka nilainya sama untuk semua kurva K ⊂ D yang mempunyai titik limit di z₀.

Akibat:

Jika dapat dicari dua kurva yang mempunyai titik limit di z₀ yang menghasilkan limit yang berlainan untuk z → z₀, maka limitnya tidak ada.

Contoh Soal: Buktikan bahwa

tidak ada.
Pilih 2 jalur berbeda, misal dipilih sumbu x dan garis y = x.

• Pendekatan dari sumbu x, dimana y = 0

• Pendekatan dari garis y = x

Terdapat 2 jalur pendekatan berbeda yang menghasilkan nilai limit berbeda, dimana untuk pendekatan dari sumbu x menghasilkan limit 0, dan untuk garis y = x menghasilkan limit 1 – i. Oleh karena itu limit fungsi f di 0 tidak ada.

3. Sifat Aljabar Limit Fungsi

A. Sifat-Sifat Aljabar Limit Fungsi

Misalkan D ⊆ ℂ, dan f, g fungsi yang terdefinisi pada D ke ℂ, dan misalkan z₀ ∈ ℂ adalah titik limit dari D. Lebih lanjut, misalkan c ∈ ℂ, berlaku sifat-sifat berikut:

B. Limit Fungsi Polinomial
Misal fungsi polinomial P dengan P(z) = a₀ + a₁z + a₂z² + ... + aₙzⁿ. Dikarenakan fungsi polinomial merupakan hasil operasi aljabar dari fungsi-fungsi yang limitnya ada dan sama dengan nilai fungsinya, hal ini juga berlaku untuk fungsi polinomial, sehingga diperoleh:

Dengan kata lain, untuk menghitung nilai fungsi polinomial dapat dilakukan substitusi langsung.

C. Limit Fungsi Rasional

Misal fungsi rasional f dengan f = P/Q, dimana P dan Q keduanya fungsi polinomial. Dengan sifat aljabar limit fungsi, untuk f fungsi rasional dengan Q(z) ≠ 0 berlaku:

4. Limit Tak Hingga

A. Bola Riemann

Untuk memahami titik di ketakhinggaan (∞), kita menggunakan model geometris berupa bola satuan yang pusatnya berada di titik asal (z = 0) bidang kompleks.

• Proyeksi Stereografi: Setiap titik z pada bidang kompleks dihubungkan dengan garis lurus ke kutub utara bola (N). Garis ini memotong permukaan bola di tepat satu titik P.

Setiap titik pada bidang memiliki pasangan unik pada permukaan bola dan Titik N (Kutub Utara) secara khusus dikaitkan dengan titik di ketakhinggaan (∞).

• Bidang Kompleks Diperluas: Himpunan bilangan kompleks yang digabungkan dengan titik tak hingga, dinotasikan sebagai ℂ* = ℂ ∪ {∞} disebut sebagai bidang kompleks diperluas.

B. Konsep Lingkungan (Neighborhood) dari ∞

Dalam limit, "mendekati tak hingga" berarti menjauhi titik asal menuju area luar (eksterior) yang sangat jauh.

• Definisi Lingkungan-ε: Himpunan titik |z| > 1/ε disebut sebagai lingkungan dari ∞.

• Analogi Visual: Eksterior dari lingkaran satuan pada bidang kompleks berkaitan dengan separuh bagian atas permukaan bola Riemann (mendekati kutub N). Semakin kecil nilai ε, maka radius 1/ε semakin besar, yang berarti titik tersebut semakin dekat dengan N atau ∞.

C. Limit di Ketakhinggaan (z → ∞)

Bilangan L disebut sebagai limit dari f(z) untuk z mendekati tak hingga, yang ditulis secara matematis sebagai:

Pernyataan ini berarti semakin besar nilai mutlak dari z maka nilai fungsi f semakin mendekati L, secara simbolis dapat dinyatakan untuk setiap bilangan positif ε > 0 yang diberikan, terdapat bilangan positif M > 0 sedemikian sehingga berlaku |f(z) – L| < ε jika |z| > M. Dapat juga dituliskan:

(∀ε > 0)(∃M > 0) ∋ |z| > M ⇒ |f(z) – L| < ε.

D. Limit Bernilai Tak Hingga

Limit dari f(z) untuk z mendekati z₀ bernilai tak hingga, yang ditulis secara matematis sebagai:

Pernyataan ini berarti semakin z dekat dengan z₀ maka nilai mutlak fungsi f semakin besar, secara simbolis dapat dinyatakan untuk setiap bilangan positif M yang diberikan, terdapat bilangan positif δ sedemikian sehingga berlaku |f(z)| > M jika 0 < |z – z₀| < δ. Dapat juga dituliskan:
(∀M > 0)(∃δ > 0) ∋ 0 < |z – z₀| < δ ⇒ |f(z)| > M.

E. Hubungan Operasional Limit Tak Hingga

Misal z₀ dan w₀ adalah titik-titik pada bidang-z dan bidang-w, berlaku hubungan operasional berikut:

Contoh: