Antiderivatif Fungsi Kompleks Analitik dan Rumus Integral Cauchy

Halo Sixtyfourians! Jika sebelumnya kita berkutat dengan definisi integral lintasan yang kadang melelahkan, kali ini kita akan membahas dua alat yang powerful dalam analisis kompleks: Antiderivatif (jalan pintas menghitung integral) dan Rumus Integral Cauchy (jantungnya fungsi analitik).

1. Antiderivatif Fungsi Analitik (Jalan Pintas Integrasi)

Ingat kalkulus bilangan real? Jika kita ingin menghitung integral tentu, kita biasanya mencari antiturunan (antiderivatif) lalu memasukkan batas atas dan bawahnya. Khabar baiknya konsep ini juga berlaku di bilangan kompleks.

A. Syarat Utama: Domain Terhubung Tunggal

Agar metode ini bekerja, kita membutuhkan fungsi f yang analitik pada suatu domain terhubung tunggal D. Artinya, daerah tersebut tidak boleh "berlubang".

Jika syarat ini terpenuhi, maka integral dari titik z₀ ke z tidak bergantung pada lintasan. Kita bisa mendefinisikan fungsi F(z) sebagai:

Fungsi F ini ternyata analitik di D dan memiliki sifat istimewa, yaitu F'(z) = f(z) untuk setiap z di dalam D. Dengan kata lain, F adalah antiderivatif dari f.

B. Teorema Fundamental Kalkulus Versi Kompleks

Jika f analitik pada domain terhubung tunggal D dan G adalah sembarang antiderivatif dari f (artinya G' = f), maka untuk sebarang lintasan di dalam D yang menghubungkan titik α dan β, berlaku:

Contoh penggunaan: Misalkan f(z) = 2z³. Fungsi f analitik pada ℂ, sehingga analitik pada D = {z: |z| < 2}, dan kita tahu antiderivatifnya adalah G(z) = ½z⁴. Maka untuk sebarang lintasan dari 0 ke 1 + i di dalam D, integralnya adalah:

2. Rumus Integral Cauchy (Nilai Fungsi di dalam)

Teorema ini menyatakan bahwa jika kita tahu nilai fungsi pada "kulit" (lintasan tertutup), kita bisa tahu nilai fungsi di "isi"-nya.

A. Rumus Integral Cauchy

Misalkan f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C (arah positif), dan z₀ adalah titik di dalam C. Maka nilai fungsi di z₀ adalah:

Dengan rumus ini, nilai fungsi analitik di titik interior z₀ sepenuhnya ditentukan oleh nilai-nilainya pada batas C.
B. Turunan Tingkat Tinggi (Generalised Formula)

Kehebatan fungsi analitik tidak berhenti di situ. Jika fungsi f analitik di suatu titik, maka ia memiliki turunan dari segala tingkat yang juga analitik di titik tersebut. Ini berbeda dengan kalkulus real di mana fungsi bisa saja punya turunan pertama tapi tidak punya turunan kedua.

Rumus integral untuk turunan ke-n di titik z adalah:

Contoh Soal: Misalkan kita diminta menghitung

Kita harus melihat posisi titik singular (z = 1 dan z = 3) terhadap lintasan C.
Jika C adalah lingkaran |z| = 2:

Hanya titik z = 1 yang ada di dalam lingkaran, kita tulis ulang fungsi integran menjadi f(z)/(z – 1) dimana f(z) = z/(z – 3)², fungsi ini analitik di dalam |z| = 2. Dengan rumus Cauchy diperoleh:

Jika C adalah lingkaran |z – 4| = 2:

Hanya titik z = 3 yang ada di dalam lingkaran, ini melibatkan bentuk (z – 3)², jadi kita gunakan rumus turunan pertama. Kita anggap g(z) = z/(z – 1), kita peroleh: