Aturan L'Hospital dan Bentuk Tak Tentu

1. Bentuk Tak Tentu

Dalam pembahasan sebelumnya, kita sering berurusan dengan metode pengevaluasian limit. Menurut sifat aljabar limit fungsi:

Namun, jika B = 0, maka tidak ada kesimpulan yang didapat. Jika B = 0 dan A ≠ 0, maka limitnya adalah tak hingga (jika limit tersebut ada).

Kasus A = 0, B = 0 belum dibahas sebelumnya. Dalam kasus ini, limit dari hasil bagi f/g dikatakan sebagai "tak tentu." Kita akan melihat bahwa dalam kasus ini limitnya mungkin tidak ada atau bisa berupa nilai real apa pun, tergantung pada fungsi spesifik f dan g. Simbolisme 0/0 digunakan untuk merujuk pada situasi ini. Sebagai contoh, jika α adalah bilangan real apa pun, dan jika kita mendefinisikan f(x) = αx dan g(x) = x, maka:

Jadi, bentuk tak tentu 0/0 dapat menghasilkan bilangan real α apa pun sebagai limitnya.

Bentuk tak tentu lainnya diwakili oleh simbol ∞/∞, 0·∞, 0⁰, 1^∞, ∞⁰, dan ∞ – ∞. Notasi-notasi ini sesuai dengan perilaku limit yang ditunjukkan dan penjajaran dari fungsi f dan g. Perhatian kita akan difokuskan pada bentuk tak tentu 0/0 dan ∞/∞. Kasus tak tentu lainnya biasanya direduksi ke bentuk 0/0 atau ∞/∞ dengan menggunakan logaritma, eksponensial, atau manipulasi aljabar.

2. Pembahasan Awal

A. Diferensiasi untuk 0/0

Misalkan f dan g didefinisikan pada [a, b], misalkan f(a) = g(a) = 0, dan misalkan g(x) ≠ 0 untuk a < x < b. Jika f dan g dapat diturunkan di a dan jika g'(a) ≠ 0, maka limit dari f/g di a ada dan sama dengan f'(a)/g'(a). Dengan demikian

Bukti:
Karena f(a) = g(a) = 0, kita dapat menuliskan f(x)/g(x) untuk a < x < b sebagai:

Dengan sifat aljabar limit fungsi diperoleh:

Catatan:
Kondisi f(a) = g(a) = 0 esensial, dimana untuk f(x) = x + 1 dan g(x) = 2x + 5 dilimitkan menuju 1:

B. Teorema Nilai Rata-rata Cauchy

Misalkan f dan g kontinu pada [a, b] dan dapat diturunkan pada (a, b), dan asumsikan bahwa g'(x) ≠ 0 untuk semua x dalam (a, b). Maka terdapat c dalam (a, b) sedemikian sehingga:

[f(b) – f(a)]/[g(b) – g(a)] = f'(c)/g'(c).

Bukti:

Pertama, kita perhatikan bahwa karena g'(x) ≠ 0 untuk semua x dalam (a, b), maka berdasarkan Teorema Rolle disimpulkan bahwa g(a) ≠ g(b). Untuk x dalam [a, b], sekarang kita definisikan:

Maka h kontinu pada [a, b], dapat diturunkan pada (a, b), dan h(a) = h(b) = 0. Oleh karena itu, berdasarkan Teorema Rolle, terdapat suatu titik c dalam (a, b) sedemikian sehingga:

Karena g'(c) ≠ 0, kita bisa membaginya dengan g'(c) dan memperoleh:

Q.E.D.

Catatan:

Teorema ini memiliki interpretasi geometris yang mirip dengan Teorema Nilai Rata-rata. Fungsi f dan g dapat dipandang sebagai penentu sebuah kurva di bidang melalui persamaan parametrik x = f(t), y = g(t) di mana a ≤ t ≤ b.

Maka kesimpulan dari teorema tersebut adalah terdapat suatu titik (f(c), g(c)) pada kurva untuk suatu c dalam (a, b) sedemikian sehingga kemiringan (slope) g'(c)/f'(c) dari garis singgung terhadap kurva pada titik tersebut sama dengan kemiringan segmen garis yang menghubungkan titik-titik ujung kurva.

Perlu dicatat bahwa jika g(x) = x, maka Teorema Nilai Rata-rata Cauchy tereduksi menjadi Teorema Nilai Rata-rata.

3. Aturan L'Hospital

A. Aturan L'Hospital 1

Misalkan –∞ ≤ a < b ≤ ∞ dan misalkan f, g diferensiabel pada (a, b) sedemikian sehingga g'(x) ≠ 0 untuk semua x ∈ (a, b). Misalkan bahwa: