Derivatif (Anril)

1. Derivatif

A. Definisi Derivatif

Misal diberikan interval I ⊆ ℝ, fungsi f : I → ℝ dan c ∈ I. Bilangan real L dikatakan derivatif fungsi f di titik c jika untuk setiap ε > 0 terdapat δ(ε) > 0 sehingga untuk setiap x ∈ I berlaku jika 0 < |x – c| < δ maka

Dapat juga dituliskan (∀ε > 0)(∃δ > 0) ∋ (∀x ∈ I). 0 < |x – c| < δ ⇒

Dalam kasus ini kita katakan bahwa f terdiferensialkan (diferensiabel) di c, dan kita menulis f'(c) untuk L.

Dengan kata lain, turunan dari f di c diberikan oleh limit

asalkan limit ini ada. Misal h = x – c, dapat juga dituliskan

Terkadang f'(x) dinotasikan df/dx ataupun D_xf.

Contoh: Misal f(x) = x², turunan f di c adalah:

B. Teorema Kekontinuan Fungsi Diferensiabel
Jika f : I → ℝ diferensiabel di c ∈ I, maka f kontinu di c.

Bukti:

Untuk setiap x ∈ I dan x ≠ c, berlaku

Karena f'(c) ada, dengan aturan perkalian limit berlaku:

Sehingga diperoleh

Dengan kata lain, f kontinu di c. Q.E.D.

Catatan: Teorema ini tidak berlaku kebalikan, dimana ada fungsi kontinu tetapi tidak diferensiabel, sebagai contoh misal didefinisikan fungsi f berikut:

f kontinu di 0, karena

yang mana ini benar menurut teorema apit. Akan tetapi perhatikan

limit ini tidak ada, sehingga f tidak diferensiabel di 0.
Jadi, f kontinu di 0, tetapi f tidak diferensiabel di 0.

2. Aturan Diferensiasi

A. Aturan Diferensiasi Dasar

Misalkan I ⊆ ℝ adalah sebuah interval, misalkan c ∈ I, α ∈ ℝ dan misalkan f : I → ℝ dan g : I → ℝ adalah fungsi-fungsi yang dapat diturunkan (diferensiabel) di c. Maka:

• Perkalian Skalar

(αf)'(c) = α·f'(c)

• Penjumlahan

(f + g)'(c) = f'(c) + g'(c)

• Pengurangan

(f – g)'(c) = f'(c) – g'(c)

• Perkalian

(fg)'(c) = f'(c)·g(c) + f(c)·g'(c)

• Pembagian

B. Perluasan untuk Penjumlahan dan Perkalian

• Penjumlahan

(f₁ + f₂ + ... + fₙ)'(c) = f₁'(c) + f₂'(c) + ... + fₙ'(c)

• Perkalian

Kasus khusus untuk f₁ = f₂ = ... = fₙ = f berlaku

[fⁿ]'(c) = n·[fⁿ⁻¹](c)·f'(c)

3. Aturan Rantai

A. Teorema Carathéodory

Misalkan f didefinisikan pada sebuah interval I yang memuat titik c. Maka f dapat diturunkan (differentiable) di c jika dan hanya jika terdapat sebuah fungsi φ pada I yang kontinu di c dan memenuhi:

f(x) – f(c) = φ(x)·(x – c) untuk x ∈ I.

Dalam kasus ini, kita memiliki φ(c) = f'(c).

Bukti:

(⇒) Jika f'(c) ada, kita dapat mendefinisikan φ dengan:

Kontinuitas φ berasal dari definisi kekontinuan dan definisi derivatif. Jika x = c, maka kedua ruas dari persamaan

f(x) – f(c) = φ(x)·(x – c)

bernilai 0, sedangkan jika x ≠ c, maka perkalian φ(x) dengan (x – c) menghasilkan persamaan tersebut untuk semua x ∈ I lainnya.

(⇐) Sekarang asumsikan bahwa terdapat fungsi φ yang kontinu di c dan memenuhi persamaan

f(x) – f(c) = φ(x)·(x – c).

Jika kita membagi persamaan tersebut dengan x – c ≠ 0, maka kontinuitas dari φ mengimplikasikan bahwa:

ada. Oleh karena itu, f dapat diturunkan di c dan f'(c) = φ(c). Q.E.D.

B. Aturan Rantai

Misalkan I, J adalah interval-interval di ℝ, misalkan g : I → ℝ dan f : J → ℝ adalah fungsi-fungsi sedemikian sehingga f(J) ⊆ I, dan misalkan c ∈ J. Jika f dapat diturunkan di c dan jika g dapat diturunkan di f(c), maka fungsi komposisi g ∘ f dapat diturunkan di c dan:

(g ∘ f)'(c) = g'(f(c)) · f'(c).

Bukti:

Karena f'(c) ada, Teorema Carathéodory mengimplikasikan bahwa terdapat sebuah fungsi φ pada J sedemikian sehingga φ kontinu di c dan f(x) – f(c) = φ(x)·(x – c) untuk x ∈ J, di mana φ(c) = f'(c). Juga, karena g'(f(c)) ada, terdapat fungsi ψ yang terdefinisi pada I sedemikian sehingga ψ kontinu di d = f(c) dan g(y) – g(d) = ψ(y)·(y – d) untuk y ∈ I, di mana ψ(d) = g'(d). Substitusi y = f(x) dan d = f(c) kemudian menghasilkan:

g(f(x)) – g(f(c)) = ψ(f(x))(f(x) – f(c)) = [(ψ ∘ f)(x) · φ(x)](x – c)

untuk semua x ∈ J sedemikian sehingga f(x) ∈ I. Karena fungsi (ψ ∘ f) · φ kontinu di c dan nilainya di c adalah g'(f(c)) · f'(c), Teorema Carathéodory memberikan hasil

(g ∘ f)'(c) = g'(f(c)) · f'(c).

Q.E.D.

Notasi lain untuk aturan rantai adalah misal F = g ∘ f, turunannya dari F(x) adalah

dimana dF/df = (g' ∘ f)(x) dan df/dx = f'(x).

Contoh: Misal f(x) = sin(x² + 3x), turunannya adalah f'(x) = cos(x² + 3x)·(2x + 3)

4. Fungsi Invers

Kita sekarang akan menghubungkan turunan suatu fungsi dengan turunan dari fungsi inversnya, ketika fungsi invers tersebut ada. Kita akan membatasi perhatian kita pada fungsi kontinu yang monoton murni dan menggunakan Teorema Invers Kontinu untuk memastikan keberadaan fungsi invers yang kontinu.

Jika f adalah fungsi kontinu yang monoton tegas pada sebuah interval I, maka fungsi inversnya g = f⁻¹ didefinisikan pada interval J = f(I) dan memenuhi hubungan:

g(f(x)) = x untuk x ∈ I

Jika c ∈ I dan d = f(c), dan jika kita mengetahui bahwa baik f'(c) maupun g'(d) ada, maka kita dapat menurunkan kedua sisi persamaan tersebut dan menerapkan Aturan Rantai (Chain Rule) pada sisi kiri untuk mendapatkan g'(f(c)) · f'(c) = 1. Dengan demikian, jika f'(c) ≠ 0, kita akan memperoleh:

g'(d) = 1 / f'(c)

A. Teorema Turunan Fungsi Invers

Misalkan I adalah sebuah interval di ℝ dan misalkan f : I → ℝ bersifat monoton murni dan kontinu pada I. Misalkan J = f(I) dan misalkan g : J → ℝ merupakan fungsi invers yang monoton tegas dan kontinu terhadap f. Jika f diferensiabel di c ∈ I dan f'(c) ≠ 0, maka g diferensiabel di d = f(c) dan:

g'(d) = 1/f'(c) = 1/f'(g(d))

Bukti:

Diberikan c ∈ ℝ, kita memperoleh dari Teorema Carathéodory sebuah fungsi φ pada I dengan sifat bahwa φ kontinu di c, f(x) – f(c) = φ(x)(x – c) untuk x ∈ I, dan φ(c) = f'(c). Karena φ(c) ≠ 0 berdasarkan hipotesis, maka terdapat persekitaran V = (c – δ, c + δ) sedemikian sehingga φ(x) ≠ 0 untuk semua x ∈ V ∩ I. Jika U = f(V ∩ I), maka fungsi invers g memenuhi f(g(y)) = y untuk semua y ∈ U, sehingga:

y – d = f(g(y)) – f(c) = φ(g(y)) · (g(y) – g(d))

Karena φ(g(y)) ≠ 0 untuk y ∈ U, kita dapat membaginya untuk mendapatkan:

g(y) – g(d) = [1/φ(g(y))] · (y – d)

Karena fungsi 1/(φ ◦ g) kontinu di d, kita menerapkan Carathéodory untuk menyimpulkan bahwa g'(d) ada dan g'(d) = 1/φ(g(d)) = 1/φ(c) = 1/f'(c). Q.E.D.

Catatan:

Hipotesis yang menyatakan bahwa f'(c) ≠ 0 adalah hal yang esensial. Faktanya, jika f'(c) = 0, maka fungsi invers g tidak pernah diferensiabel di d = f(c), karena asumsi keberadaan g'(d) akan mengarah pada 1 = f'(c)g'(d) = 0, yang mana adalah mustahil. Fungsi f(x) := x³ dengan c = 0 adalah salah satu contohnya.

B. Bentuk yang Lebih Sederhana

Misalkan I adalah sebuah interval dan misalkan f : I → ℝ bersifat monoton tegas pada I. Misalkan J = f(I) dan misalkan g : J → ℝ adalah fungsi invers dari f. Jika f diferensiabel pada I dan f'(x) ≠ 0 untuk x ∈ I, maka g diferensiabel pada J dan:

g' = 1 / (f' ∘ g)

Bukti:

Jika f diferensiabel pada I, maka f kontinu pada I, dan berdasarkan Teorema Invers Kontinu, fungsi invers g bersifat kontinu pada J. Persamaan g' = 1 / (f' ∘ g) sekarang mengikuti dari Teorema 6.1.8. Q.E.D.

Tambahan:

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi dari teorema ini, dan jika x ∈ I serta y ∈ J dihubungkan oleh y = f(x) dan x = g(y), maka persamaan g' = 1 / (f' ∘ g) dapat ditulis dalam bentuk:

g'(y) = 1 / (f' ∘ g)(y), y ∈ J atau (g' ∘ f)(x) = 1 / f'(x), x ∈ I

Ini juga dapat ditulis dalam bentuk g'(y) = 1 / f'(x), asalkan perlu diingat bahwa x dan y dihubungkan oleh y = f(x) dan x = g(y).

Contoh:

Fungsi sinus naik secara tegas pada interval I = [–π/2, π/2]; oleh karena itu fungsi inversnya, yang akan kita lambangkan dengan Arcsin, ada pada J = [–1, 1]. Artinya, jika x ∈ [–π/2, π/2] dan y ∈ [–1, 1] maka y = sin(x) jika dan hanya jika Arcsin(y) = x. Ingat kembali bahwa turunan sin(x) adalah cos(x).

Karena cos x ≠ 0 untuk x dalam (–π/2, π/2), maka diperoleh bahwa:

untuk semua y ∈ (–1, 1). Turunan dari Arcsin tidak ada pada titik –1 dan 1.