Fungsi Analitik dan Fungsi Harmonik

1. Fungsi Analitik

A. Fungsi Analitik di Suatu Titik

Suatu fungsi variabel kompleks f dikatakan analitik (atau holomorfik/reguler) di suatu titik z₀ jika fungsi tersebut memiliki turunan (terdiferensial) tidak hanya di z₀, tetapi juga di setiap titik pada suatu lingkungan (kitar/neighborhood) dari z₀.

B. Fungsi Analitik pada Himpunan

• Jika f analitik pada suatu himpunan buka, maka ia memiliki turunan pada setiap titik di himpunan tersebut.

• Untuk himpunan yang tidak buka (misalnya S), keanalitikan difahami sebagai f analitik pada suatu himpunan buka yang memuat S.

C. Fungsi Utuh (Entire Function)

Fungsi utuh adalah fungsi yang analitik di setiap titik pada seluruh bidang kompleks. Karena bidang kompleks merupakan himpunan buka, dapat dikatakan juga bahwa fungsi utuh adalah fungsi yang diferensiabel di setiap titik pada seluruh bidang kompleks.

Contoh:

Fungsi polinomial merupakan fungsi utuh karena selalu diferensiabel pada ℂ.

D. Titik Singular

Jika fungsi gagal analitik di titik z₀, tetapi analitik di beberapa titik pada setiap lingkungan z₀, maka z₀ disebut titik singular.

Contoh:

1. Titik singular fungsi rasional adalah pembuat nol penyebutnya, dimana fungsi rasional analitik dimana-mana, kecuali di pembuat nol penyebutnya.

2. Fungsi f dengan f(z) = |z|² diferensiabel hanya di 0 dan tidak diferensiabel dimana-mana, oleh karena itu f tidak analitik dimana-mana, sehingga tidak memiliki titik singular.

2. Sifat Aljabar Fungsi Analitik

Misal f dan g fungsi-fungsi analitik dan c ∈ ℂ, berlaku sifat-sifat aljabar:

• f + g merupakan fungsi analitik

• f – g merupakan fungsi analitik

• fg merupakan fungsi analitik

• cf merupakan fungsi analitik

• f/g analitik asalkan g(z) ≠ 0

• g ∘ f merupakan fungsi analitik

3. Persamaan Cauchy-Riemann

A. Persamaan Cauchy-Riemann

Fungsi yang analitik pasti diferensiabel, oleh karena itu memenuhi PCR.

B. Kekontinuan Turunan Parsial

Misal fungsi f dengan f = u + iv memenuhi PCR pada kitar N(z₀, δ) dan turunan-turunan parsial ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y kontinu pada N(z₀, δ), maka f analitik di z₀.

4. Fungsi Konstan

Sebuah fungsi analitik f merupakan fungsi konstan pada domain D jika salah satu kondisi berikut terpenuhi:

• Turunannya nol (di mana-mana dalam domain.

• Fungsi f dan konjugatnya keduanya analitik di D.

• f bernilai riil pada seluruh D.

• Nilai mutlak f konstan di seluruh D.

5. Fungsi Harmonik

A. Definisi Fungsi Harmonik

Fungsi harmonik adalah fungsi riil dua variabel yang memiliki turunan parsial kedua kontinu dan memenuhi Persamaan Laplace:

B. Hubungan Fungsi Analitik dengan Harmonik
Jika f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik, maka komponen u dan v adalah fungsi harmonik.

Catatan: Tidak berlaku kebalikan, dimana bisa saja suatu fungsi f dengan komponen real dan imajinernya fungsi harmonik, tetapi f tidak analitik.

C. Konjugat Harmonik

Jika u harmonik, kita dapat mencari v agar f = u + iv menjadi analitik. Fungsi v yang memenuhinya disebut sebagai konjugat harmonik.

6. Metode Milne-Thomson

Selain cara integrasi biasa, terdapat cara Milne-Thomson untuk membentuk fungsi analitik f(z) langsung dari fungsi harmonik u(x, y):

1. Rumus utamanya adalah f'(z) = u_x(z, 0) – iu_y(z, 0).

2. Metode ini mensubstitusi x dengan z dan y dengan 0 pada turunan parsial u.

3. Setelah mendapatkan f'(z), integralkan terhadap z untuk mendapatkan f(z).

Contoh: Diberikan fungsi u = 2xy – 2x, tentukan fungsi analitik dan konjugat harmonik.

∂u/∂x = 2y – 2; ∂²u/∂x² = 0

∂u/∂y = 2x; ∂²u/∂y² = 0

∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0 + 0 = 0, fungsi ini merupakan fungsi harmonik.

f'(z) = u_x(z, 0) – iu_y(z, 0) = 2·0 – 2 – i·2z = –2 – 2iz

f(z) = ∫–2 – 2iz dz = –2z – iz²

f(z) = –2(x + iy) – i(x + iy)² = –2x – 2iy – i(x² + 2ixy – y²) = –2x + 2xy + i(–2y – x² + y²)

Jadi, f(z) = –2z – iz² dan v(x, y) = y² – 2y – x².