Fungsi Eksponensial dan Logaritma Kompleks

1. Fungsi Eksponensial Kompleks

A. Deret Mac Laurin untuk Fungsi Eksponensial

Ingat kembali deret Mac Laurin untuk fungsi eksponensial, yaitu eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ..., dalam notasi sigma

B. Deret Mac Laurin untuk Fungsi Sinus dan Kosinus

Ingat kembali deret Mac Laurin untuk fungsi sinus dan kosinus sebagai berikut:

C. Rumus Euler untuk Bilangan Kompleks

Dengan deret MacLaurin untuk eˣ, dengan mengganti x dengan iθ, akan diperoleh:

Jadi, e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ). Rumus ini disebut sebagai Rumus Euler.

D. Rumus Fungsi Eksponensial untuk Bilangan Kompleks

Misal suatu bilangan kompleks z = x + iy, hasil exp(z) dirumuskan sebagai berikut:

e^z = e^{x + iy} = e^xe^iy = e^x·[cos(y) + i·sin(y)] = e^x·cos(y) + i·e^x·sin(y)

Definisi ini menjamin bahwa jika z adalah bilangan real (yaitu y = 0), maka fungsinya kembali menjadi fungsi eksponensial biasa eˣ. Begitu juga jika x = 0, fungsinya kembali menjadi hubungan fundamental yang dikenal sebagai rumus Euler, e^iy = cos(y) + i·sin(y).

Domain dari fungsi eksponensial adalah seluruh ℂ.

2. Sifat-Sifat Fungsi Eksponensial

A. Nilai Mutlak

Sebelum membahas nilai mutlak fungsi eksponensial, ingat kembali rumus Euler:

e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ)

Perhatikan bahwa nilai mutlak fungsi eksponen yang dikenakan kepada bilangan imajiner murni (bilangan kompleks yang bagian realnya nol) selalu 1, dimana |e^iθ| = √[cos²(θ) + sin²(θ)] = √1 = 1.

Oleh karena itu jika z = x + iy, diperoleh |e^z| = |e^x+iy| = |e^xe^iy| = |e^x|·|e^iy| = eˣ·1 = eˣ.

Jadi, |exp(z)| = exp[Re(z)], yang mana nilai mutlak eksponen bilangan kompleks adalah eksponen dari bagian realnya. Selain itu, kita peroleh bahwa nilai mutlak hasil eksponen selalu taknol, akibatnya hasil fungsi eksponen tak pernah 0.

B. Diferensiabilitas dan Keutuhan Fungsi Eksponensial

Perhatikan bahwa fungsi eksponensial f(z) = e^x·cos(y) + i·e^x·sin(y), diperoleh:

u(x, y) = e^x·cos(y) dan v(x, y) = e^x·sin(y), turunan parsialnya adalah:

∂u/∂x = e^x·cos(y); ∂u/∂y = –e^x·sin(y).

∂v/∂x = e^x·sin(y); ∂v/∂y = e^x·cos(y)

• Cek PCR:

∂u/∂x = eˣ·cos(y) = ∂v/∂y

∂u/∂y = –eˣ·sin(y) = –∂v/∂x

• Cek keterdefinisian pada kitar

∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y selalu terdefinisi di sebarang titik pada ℂ, sehingga juga terdefinisi pada kitarnya.

• Cek kekontinuan

∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y selalu kontinu di sebarang titik pada ℂ.

Fungsi f memenuhi PCR, turunan-turunan parsialnya terdefinisi pada kitar, dan kontinu pada ℂ, sehingga f diferensiabel pada ℂ.

Turunan fungsi eksponensial adalah f'(z) = ∂u/∂x + i·(∂v/∂x) = eˣ·cos(y) + i·e^x·sin(y) = f(z). Jadi, turunan fungsi eksponensial f(z) = e^z adalah itu e^z sendiri.

Selain itu, karena f diferensiabel pada ℂ, maka untuk sebarang titik f selalu diferensiabel, sehingga juga diferensiabel pada kitarnya, akibatnya f selalu analitik.

Jadi, fungsi eksponensial merupakan fungsi utuh.

C. Sifat Periodik

Perhatikan untuk z = x + iy, e^z = e^x·[cos(y) + i·sin(y)], fungsi kosinus dan fungsi sinus memiliki periode yang sama, yaitu 2π, sehingga exp[x + i(y + 2π)] = e^x·[cos(y + 2π) + i·sin(y + 2π)] = e^x·[cos(y) + i·sin(y)] = exp(x + iy).

Periode fungsi eksponen adalah 2iπ, sehingga secara umum berlaku hubungan periodik:

e^{z + 2ikπ} = e^z; dengan k bilangan bulat.

D. Perkalian dan Pembagian

exp(z)·exp(w) = exp(z + w)

exp(z)/exp(w) = exp(z – w)

3. Fungsi Logaritma Kompleks

A. Rumus Fungsi Logaritma untuk Bilangan Kompleks

Misal z = re^iθ, kita peroleh ln(z) = ln(re^iθ) = ln(r) + i(θ + 2kπ), dengan r = |z| > 0, θ = arg(z), dan k bilangan bulat.

Fungsi logaritma ini bernilai banyak, dimana ada banyak θ yang memenuhi re^iθ = z. Nilai utama (principal value) dari fungsi logaritma adalah ln(z) = ln(r) + iθ dengan –π < θ ≤ π.

Domain fungsi logaritma adalah ℂ\{0}.

B. Cabang Fungsi Logaritma

Agar fungsi logaritma bernilai tunggal, kita harus membatasi domainnya dengan membuat "irisan cabang" (branch cut), irisan cabang utamanya sepanjang sumbu real negatif. Kita definisikan cabang-α dari fungsi logaritma sebagai:

f(z, α) = ln(z) = ln(r) + iθ; dengan r = |z| > 0, dan α < θ ≤ α + 2π. Dalam definisi ini, irisan cabang atau branch cut dari cabang-α adalah sinar θ = α.

Perhatikan bahwa untuk z = 0, nilai fungsi logaritma tidak terdefinisikan.

Untuk titik-titik yang terletak pada sinar θ = α, fungsi logaritma terdefinisikan dengan ln(z) = ln(r) + i(α + 2π), akan tetapi limitnya tidak ada karena untuk pendekatan berlawanan arah jarum jam diperoleh limitnya ln(r) + i(α + 2π), sedangkan untuk pendekatan searah jarum jam diperoleh limitnya ln(r) + iα. Adanya 2 jalur pendekatan yang menghasilkan nilai limit berbeda ini mengakibatkan limitnya tidak ada.

Selanjutnya karena limitnya tidak ada pada irisan cabang, fungsi logaritma tidak kontinu pada irisan cabang, sehingga tidak diferensiabel, yang berakibat tidak analitik.

Adapun di titik-titik lain, perhatikan ln(z) = ln(r) + iθ, diperoleh u = ln(r), v = θ

∂u/∂r = 1/r; ∂v/∂r = 0

∂u/∂θ = 0; ∂v/∂θ = 1

• Cek PCR:

∂u/∂θ = 0 = –r·(∂v/∂r)

∂v/∂θ = 1 = r·1/r = r·(∂u/∂r)

• Cek keterdefinisian pada kitar

∂u/∂r, ∂u/∂θ, ∂v/∂r, ∂v/∂θ selalu terdefinisi di sebarang titik selain sinar θ = α, sehingga juga terdefinisi pada kitarnya.

• Cek kekontinuan

∂u/∂r, ∂u/∂θ, ∂v/∂r, ∂v/∂θ selalu kontinu di sebarang titik selain r = 0, sehingga selalu kontinu pada selain sinar θ = α.

Fungsi f memenuhi PCR, turunan-turunan parsialnya terdefinisi pada kitar, dan kontinu pada selain sinar θ = α, sehingga f diferensiabel pada selain sinar θ = α. Selain itu setiap titik memiliki kitar yang saling asing dengan sinar θ = α, sehingga juga diferensiabel pada kitarnya, akibatnya f analitik pada selain sinar θ = α.

Turunan fungsi logaritma adalah f'(z) = [cos(θ) – i·sin(θ)]·[uᵣ(r, θ) + i·vᵣ(r, θ)] = [cos(θ) – i·sin(θ)]·[1/r + i·0] = [cos(θ) – i·sin(θ)]·(1/r) = 1/z.

Jadi, turunan fungsi logaritma adalah f'(z) = 1/z.

4. Sifat-Sifat Fungsi Logaritma

A. Pembatalan Logaritma

Fungsi eksponen membatalkan logaritma, dimana untuk z ≠ 0 berlaku:

e^ln(z) = z

Meski fungsi logaritma bernilai banyak, tetapi nilai-nilai fungsi logaritma membentuk himpunan yang periodik, yang mana periodenya sama dengan periode fungsi eksponen, sehingga ketika dieksponenkan menghasilkan nilai yang sama.

B. Percabangan Periodik

Untuk sebarang bilangan kompleks z, berlaku:

ln(e^z) = z + 2kiπ, dengan k bilangan bulat

Hasil logaritma dari fungsi eksponen memiliki tak hingga cabang, tetapi cabang-cabang tersebut bersifat periodik.

C. Penjumlahan dan Pengurangan

(∀z ≠ 0, w ≠ 0)[∀ln(zw)][∃ln(z), ln(w)] ∋ ln(z) + ln(w) = ln(zw)

(∀z ≠ 0, w ≠ 0)[∀ln(zw)][∃ln(z), ln(w)] ∋ ln(z) – ln(w) = ln(z/w)

5. Eksponen dan Logaritma Umum

A. Fungsi Eksponen Basis Sebarang

Misal c konstanta kompleks taknol, berlaku e^ln(c) = c, pangkatkan masing-masing ruas dengan z:

c^z = [e^ln(c)]^z = e^z·ln(c) 

Fungsi ini bernilai banyak karena ln(c) bernilai banyak, kita dapat memilih cabang tertentu agar nilai fungsi menjadi tunggal.

Setelah dipilih cabang tertentu, fungsi eksponen basis sebarang menjadi bernilai tunggal, bahkan diferensiabel dimanapun, dengan:

untuk cabang tertentu dari ln(c). Oleh karena itu fungsi eksponen basis sebarang merupakan fungsi utuh.

B. Fungsi Pangkat Kompleks

Misal z ≠ 0 dan c konstanta kompleks, berlaku e^ln(z) = z, pangkatkan masing-masing ruas dengan c:

z^c = [e^ln(z)]^c = e^c·ln(z) 

Fungsi ini bernilai banyak karena ln(z) bernilai banyak, kita dapat memilih cabang tertentu agar nilai fungsi menjadi tunggal.

Setelah dipilih cabang tertentu, fungsi pangkat kompleks menjadi bernilai tunggal, bahkan diferensiabel pada domainnya, dengan:

untuk cabang tertentu dari ln(z). Oleh karena itu fungsi pangkat kompleks analitik pada domainnya.

C. Fungsi Self-Eksponensial

Misal z ≠ 0, berlaku e^ln(z) = z, pangkatkan masing-masing ruas dengan z:

z^z = [e^ln(z)]^z = e^z·ln(z) 

Fungsi ini bernilai banyak karena ln(z) bernilai banyak, kita dapat memilih cabang tertentu agar nilai fungsi menjadi tunggal.

Setelah dipilih cabang tertentu, fungsi self-eksponensial menjadi bernilai tunggal, bahkan diferensiabel pada domainnya, dengan:

untuk cabang tertentu dari ln(z). Oleh karena itu fungsi self-eksponensial analitik pada domainnya.
D. Fungsi Logaritma Basis Sebarang

Misal a, b dan c merupakan bilangan kompleks taknol. Misal ᵃlog(b) = m dan ᵇlog(c) = n, berarti aᵐ = b dan bⁿ = c.

aᵐⁿ = (aᵐ)ⁿ = bⁿ = c, berarti ᵃlog(c) = mn = ᵃlog(b)·ᵇlog(c) ⇔ ᵇlog(c) = ᵃlog(c)/ᵃlog(b).

Dengan ini kita bisa merumuskan ᶜlog(z) = ᵉlog(z)/ᵉlog(c) = ln(z)/ln(c).

Jadi, fungsi logaritma dengan basis c bisa dirumuskan ᶜlog(z) = ln(z)/ln(c).

Fungsi ini bernilai banyak karena ln(z) dan ln(c) bernilai banyak, kita dapat memilih cabang tertentu agar nilai fungsi menjadi tunggal.

Setelah dipilih cabang tertentu, fungsi logaritma basis sebarang menjadi bernilai tunggal, bahkan diferensiabel pada domainnya, dengan:

Contoh Soal

1. Tentukan ³log(–2)

³log(–2) = ln(–2)/ln(3)

= [ln(2) + ln(–1)]/ln(3)

= [ln(2) + (2k₁ + 1)iπ]/[ln(3) + 2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ ℤ.

2. Tentukan 5³⁺⁴ⁱ 

5³⁺⁴ⁱ = exp[(3 + 4i)·ln(5)]

= exp[3·ln(5) + 4i·ln(5)]

= 5³·exp[4i·ln(5)]

= 125·[cos(4·ln(5)) + i·sin(4·ln(5))]

= 125·cis[4·ln(5)]

3. Tentukan (–16)^3/4 

(–16)^3/4 = exp[ln((–16)^3/4)]

= exp[¾·(ln(16) + ln(–1))]

= 16^3/4·exp(¾iπ)

= 8·[cos(¾π) + i·sin(¾π)]

= 8·[–½√2 + i½√2]

= –4√2 + 4i√2

4. Tentukan (–4)^√3 

(–4)^√3 = exp[ln((–4)^√3)]

= exp[(√3)·(ln(4) + ln(–1))]

= 4^√3·exp(iπ√3)

= 4^√3·[cos(π√3) + i·sin(π√3)]

= 4^√3·cis(π√3)

5. Misal diberikan persamaan eksponensial

1^x = 2

berapapun nilai x, untuk setiap x bilangan real, selalu 1^x = 1, sehingga tidak ada bilangan real yang memenuhinya.

Akan tetapi, ternyata terdapat tak hingga bilangan kompleks yang memenuhinya.

1^x = 2, tarik logaritma masing-masing ruas

x·ln(1) = ln(2)

x = ln(2)/ln(1)

x = [ln(2) + 2k₁iπ]/[ln(1) + 2k₂iπ]

x = [ln(2) + 2k₁iπ]/[2k₂iπ], dengan k₁, k₂ ∈ ℤ dan k₂ ≠ 0.

6. Diketahui i = √(–1), bagaimana jika i dipangkatkan dengan i?

Ingat kembali rumus Euler:

e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ)

θ yang memenuhi adalah θ yang memenuhi cos(θ) = 0 dan sin(θ) = 1, yaitu θ = π/2

e^iπ/2 = i

Misal kita memangkatkan i dengan i

iⁱ = e^i.iπ/2 = e^–π/2 ≈ 0,20787957635

hasilnya merupakan bilangan real.