Fungsi Hiperbolik Kompleks dan Inversnya

1. Rumus Fungsi Hiperbolik

A. Rumus Fungsi Sinus dan Kosinus Hiperbolik

Fungsi sinus hiperbolik (sinh) dan cosinus hiperbolik (cosh) didefinisikan langsung menggunakan fungsi eksponensial:

B. Rumus Fungsi Hiperbolik Lainnya
Fungsi-fungsi lainnya (tanh, coth, sech, csch) didefinisikan sebagai rasio dari kedua fungsi utama, sebagai berikut:

C. Hubungan Fungsi Hiperbolik dengan Trigonometri

Sedangkan untuk fungsi hiperbolik lainnya:

tanh(iθ) = sinh(iθ)/cosh(iθ) = i·sin(θ)/cos(θ) = i·tan(θ)

coth(iθ) = cosh(iθ)/sinh(iθ) = cos(θ)/[i·sin(θ)] = –i·cot(θ)

sech(iθ) = 1/cosh(iθ) = 1/cos(θ) = sec(θ)

csch(iθ) = 1/sinh(iθ) = 1/[i·sin(θ)] = –i·csc(θ)

2. Identitas Fungsi Hiperbolik

A. Fungsi Hiperbolik Variabel Negatif

B. Identitas Pythagoras

• Identitas Pythagoras Sinus dan Kosinus Hiperbolik

Jadi, cosh²(z) – sinh²(z) = 1.

• Identitas Pythagoras Tangen dan Sekan Hiperbolik

Jadi, sech²(z) + tanh²(z) = 1.

• Identitas Pythagoras Kotangen dan Kosekan

Jadi, coth²(z) – csch²(z) = 1.

C. Rumus Mirip Euler

• Jumlah Kosinus dan Sinus Hiperbolik

Jadi, eᶻ = cosh(z) + sinh(z)

• Selisih Kosinus dan Sinus Hiperbolik

e⁻ᶻ = cosh(z) – sinh(z)

D. Rumus Jumlah dan Selisih Variabel

• Rumus Jumlah dan Selisih Sinus

sinh(z + w) = sinh(z)cosh(w) + cosh(z)sinh(w)

sinh(z – w) = sinh(z)cosh(w) – cosh(z)sinh(w)

• Rumus Jumlah dan Selisih Kosinus

cosh(z + w) = cosh(z)cosh(w) + sinh(z)sinh(w)

cosh(z – w) = cosh(z)cosh(w) – sinh(z)sinh(w)

• Rumus Jumlah dan Selisih Tangen

• Rumus Jumlah dan Selisih Kotangen

E. Rumus Variabel Rangkap

sinh(2z) = sinh(z + z) = sinh(z)cosh(z) + cosh(z)sinh(z) = 2sinh(z)cosh(z)

cosh(2z) = cosh(z + z) = cosh(z)cosh(z) + sinh(z)sinh(z) = cosh²(z) + sinh²(z)

cosh(2z) = 2sinh²(z) + 1

cosh(2z) = 2cosh²(z) – 1

3. Turunan Fungsi Hiperbolik

A. Turunan Fungsi Sinus Hiperbolik

B. Turunan Fungsi Kosinus Hiperbolik

C. Turunan Fungsi Lainnya

4. Fungsi Hiperbolik dengan Pemisahan Komponen

A. Fungsi Sinus dan Kosinus Hiperbolik dengan Pemisahan Komponen

sinh(x + iy) = sinh(x)cosh(iy) + cosh(x)sinh(iy) = sinh(x)cos(y) + i·cosh(x)sin(y)

cosh(x + iy) = cosh(x)cosh(iy) + sinh(x)sinh(iy) = cosh(x)cos(y) + i·sinh(x)sin(y)

B. Fungsi Tangen Hiperbolik dengan Pemisahan Komponen

C. Fungsi Kotangen Hiperbolik dengan Pemisahan Komponen

D. Nilai Mutlak Fungsi Sinus dan Kosinus

|sinh(z)|² = sinh²(x)cos²(y) + cosh²(x)sin²(y) = sinh²(x) + sin²(y)

|cosh(z)|² = cosh²(x)cos²(y) + sinh²(x)sin²(y) = cosh²(x) – sin²(y)

Boleh juga dituliskan:

E. Fungsi Sinus dan Kosinus Hiperbolik Konjugat

sinh(x – iy) = sinh(x)cosh(iy) – cosh(x)sinh(iy) = sinh(x)cos(y) – i·cosh(x)sin(y)

cosh(x – iy) = cosh(x)cosh(iy) – sinh(x)sinh(iy) = cosh(x)cos(y) – i·sinh(x)sin(y)

diperoleh hubungan:

5. Sifat Periodik Fungsi Hiperbolik

A. Periode Fungsi Sinus, Kosinus, Sekan, dan Kosekan Hiperbolik

Fungsi sinus dan kosinus hiperbolik dirumuskan dalam fungsi eksponensial yang periodenya adalah 2π, perhatikan rumus Euler bahwa e^{θ + 2iπ} = cosh(θ + 2iπ) + sin(θ + 2iπ), diperoleh bahwa periode fungsi sinus dan kosinus hiperbolik adalah 2iπ.

Fungsi kosekan hiperbolik merupakan kebalikan fungsi sinus hiperbolik dan fungsi sekan hiperbolik merupakan kebalikan fungsi kosinus hiperbolik, oleh karena itu periodenya sama, yaitu 2iπ.

B. Periode Fungsi Tangen dan Kotangen

Perhatikan bahwa sinh(z + iπ) = sinh(z)cos(π) + i·cosh(z)sin(π) = –sinh(z).

cosh(z + iπ) = cosh(z)cos(π) + i·sinh(z)sin(π) = –cosh(z).

tanh(z + iπ) = sinh(z + iπ)/cosh(z + iπ) = –sinh(z)/[–cosh(z)] = sinh(z)/cosh(z) = tanh(z)

Periode fungsi tangen hiperbolik adalah iπ, begitu juga fungsi kotangen hiperbolik yang merupakan kebalikannya.

C. Pembuat Nol Fungsi Sinus dan Kosinus Hiperbolik

Pembuat nol fungsi sinus hiperbolik adalah kiπ dengan k bilangan bulat.

Pembuat nol fungsi kosinus hiperbolik adalah (2k + 1)iπ/2 dengan k bilangan bulat.

6. Invers Fungsi Hiperbolik

A. Invers Fungsi Sinus Hiperbolik

Misal w = sinh⁻¹(z) ⇔ z = sinh(w) = (e^w – e^–w)/2.

e^w – e^–w = 2z ⇔ e^w – e^–w – 2z = 0 ⇔ (e^w)² – 2z(e^w) – 1 = 0

B. Invers Fungsi Kosinus Hiperbolik

Misal w = cosh⁻¹(z) ⇔ z = cosh(w) = (e^w + e^–w)/2.

e^w + e^–w = 2z ⇔ e^w + e^–w – 2z = 0 ⇔ (e^w)² – 2z(e^w) + 1 = 0

C. Invers Fungsi Tangen Hiperbolik

Misal w = tanh⁻¹(z) ⇔ z = tanh(w) = (e^w – e^–w)/(e^w + e^–w)

e^w – e^–w = z(e^w + e^–w) = ze^w + ze^–w ⇔ (1 – z)e^w + (–1 – z)e^–w = 0 ⇔ (1 – z)(e^w)² + (–1 – z) = 0

D. Invers Fungsi Kotangen Hiperbolik

Misal w = coth⁻¹(z) ⇔ z = coth(w) = (e^w + e^–w)/(e^w – e^–w).

z(e^w – e^–w) = (e^w + e^–w) ⇔ (z – 1)e^w + (–z – 1)e^–w = 0 ⇔ (z – 1)(e^w)² + (–z – 1) = 0

E. Invers Fungsi Sekan Hiperbolik
Misal w = sech⁻¹(z) ⇔ z = sech(w) = 2/(e^w + e^–w)

z(e^w + e^–w) = 2 ⇔ ze^w + ze^–w – 2 = 0 ⇔ z(e^w)² – 2e^w + z = 0

F. Invers Fungsi Kosekan Hiperbolik

Misal w = csch⁻¹(z) ⇔ z = csch(w) = 2/(e^w – e^–w).

z(e^w – e^–w) = 2 ⇔ ze^w – ze^–w – 2 = 0 ⇔ z(e^w)² – 2e^w – z = 0

G. AIO Fungsi Invers Hiperbolik

Fungsi invers hiperbolik bernilai banyak, tetapi dapat dipilih cabang tertentu sehingga bernilai tunggal dan analitik pada domainnya.

7. Turunan Fungsi Invers Hiperbolik

A. Turunan Fungsi Invers Sinus Hiperbolik

B. Turunan Fungsi Invers Kosinus Hiperbolik

C. Turunan Fungsi Invers Tangen Hiperbolik

D. Turunan Fungsi Invers Kotangen Hiperbolik

E. Turunan Fungsi Invers Sekan Hiperbolik

F. Turunan Fungsi Invers Kosekan Hiperbolik

G. AIO Turunan Fungsi Invers Hiperbolik

8. Komposisi Fungsi Hiperbolik dengan Inversnya

Contoh

Tentukan bilangan kompleks yang memenuhi cosh(z) = –2.

Fungsi kosinus hiperbolik yang dikenakan pada bilangan real selalu bernilai positif, sehingga tidak ada bilangan real yang memenuhi, akan tetapi ada tak hingga bilangan kompleks yang memenuhi.

–2 = cosh(z) = (eᶻ + e⁻ᶻ)/2 ⇔ eᶻ + e⁻ᶻ = –4 ⇔ eᶻ + e⁻ᶻ + 4 = 0, kalikan masing-masing ruas dengan eᶻ

(eᶻ)² + 4eᶻ + 1 = 0

• Untuk eᶻ = –2 + √3:

Perhatikan bahwa –2 + √3 < 0, sehingga dapat dinyatakan –2 + √3 = –(2 – √3)

z = ln(2 – √3) + ln(–1) = ln(2 – √3) + iπ(2k + 1); k ∈ ℤ

• Untuk eᶻ = –2 – √3:

Perhatikan bahwa –2 – √3 < 0, sehingga dapat dinyatakan –2 – √3 = –(2 + √3)

z = ln(2 + √3) + ln(–1) = ln(2 + √3) + iπ(2k + 1); k ∈ ℤ

Solusi umum untuk cosh(z) = –2 adalah z = ln(2 ± √3) + iπ(2k + 1); k ∈ ℤ.