Fungsi Trigonometri Kompleks dan Inversnya

1. Rumus Fungsi Trigonometri

A. Rumus Euler

Ingat kembali rumus Euler, yaitu e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ). Rumus ini menjadi kunci untuk nilai perbandingan trigonometri bilangan kompleks.

B. Rumus Fungsi Sinus dan Kosinus

Misal z suatu bilangan kompleks, masukkan ke rumus Euler:

e^iz = cos(z) + i·sin(z) ...(i)

e^–iz = cos(–z) + i·sin(–z) = cos(z) – i·sin(z) ...(ii)

(i) + (ii) → e^iz + e^–iz = 2·cos(z)

(i) – (ii) → e^iz – e^–iz = 2i·sin(z)

Jadi, rumus untuk fungsi sinus dan kosinus adalah:

Karena e^iz dan e^–iz keduanya fungsi utuh, fungsi sinus dan kosinus juga fungsi utuh.

Fungsi sinus dan fungsi kosinus yang dikenakan kepada bilangan imajiner murni akan menjadi fungsi hiperbolik, dimana:

Sedangkan untuk fungsi trigonometri lainnya:

tan(iθ) = sin(iθ)/cos(iθ) = i·sinh(θ)/cosh(θ) = i·tanh(θ)

cot(iθ) = cos(iθ)/sin(iθ) = cosh(θ)/[i·sinh(θ)] = –i·coth(θ)

sec(iθ) = 1/cos(iθ) = 1/cosh(θ) = sech(θ)

csc(iθ) = 1/sin(iθ) = 1/[i·sinh(θ)] = –i·csch(θ)

C. Rumus Fungsi Trigonometri Lainnya
Setelah mengetahui nilai sinus dan kosinus, berikut ini rumus untuk fungsi trigonometri lainnya:

2. Identitas Trigonometri

A. Fungsi Trigonometri Variabel Negatif

B. Identitas Pythagoras

• Identitas Pythagoras Sinus dan Kosinus

Jadi, sin²(z) + cos²(z) = 1.
• Identitas Pythagoras Tangen dan Sekan

Jadi, sec²(z) – tan²(z) = 1.

• Identitas Pythagoras Kotangen dan Kosekan

Jadi, csc²(z) – cot²(z) = 1.

C. Rumus Jumlah dan Selisih Variabel

• Sinus

sin(z + w) = sin(z)cos(w) + cos(z)sin(w)

sin(z – w) = sin(z)cos(w) – cos(z)sin(w)

• Kosinus

cos(z + w) = cos(z)cos(w) – sin(z)sin(w)

cos(z – w) = cos(z)cos(w) + sin(z)sin(w)

• Tangen

• Kotangen

D. Rumus Variabel Rangkap

sin(2z) = sin(z + z) = sin(z)cos(z) + cos(z)sin(z) = 2sin(z)cos(z)

cos(2z) = cos(z + z) = cos(z)cos(z) – sin(z)sin(z) = cos²(z) – sin²(z) = 2cos²(z) – 1 = 1 – 2sin²(z)

3. Turunan Fungsi Trigonometri

A. Turunan fungsi sinus

B. Turunan fungsi kosinus

C. Turunan fungsi trigonometri lainnya

4. Fungsi Trigonometri dengan Pemisahan Komponen

A. Fungsi Sinus dan Kosinus dengan Pemisahan Komponen

sin(x + iy) = sin(x)cos(iy) + cos(x)sin(iy) = sin(x)cosh(y) + i·cos(x)sinh(y)

cos(x + iy) = cos(x)cos(iy) – sin(x)sin(iy) = cos(x)cosh(y) – i·sin(x)sinh(y)

B. Fungsi Tangen dengan Pemisahan Komponen

C. Fungsi Kotangen dengan Pemisahan Komponen

D. Nilai Mutlak Fungsi Sinus dan Kosinus
|sin(z)|² = sin²(x)cosh²(y) + cos²(x)sinh²(y) = sin²(x)cosh²(y) – sin²(x)sinh²(y) + sin²(x)sinh²(y) + cos²(x)sinh²(y) = sin²(x)[cosh²(y) – sinh²(y)] + sinh²(y)[sin²(x) + cos²(x)] = sin²(x) + sinh²(y).

|cos(z)|² = cos²(x)cosh²(y) + cos²(x)sinh²(y) = cos²(x)cosh²(y) – cos²(x)sinh²(y) + cos²(x)sinh²(y) + sin²(x)sinh²(y) = cos²(x)[cosh²(y) – sinh²(y)] + sinh²(y)[cos²(x) + sin²(x)] = cos²(x) + sinh²(y).

Boleh juga dituliskan:

Nilai mutlak sinus hiperbolik tidak terbatas, akibatnya nilai mutlak sinus dan kosinus variabel kompleks tidak terbatas. Hal ini berbeda dengan sinus dan kosinus variabel real yang nilai mutlaknya terbatas oleh 1.

E. Sinus dan Kosinus Konjugat

sin(x – iy) = sin(x)cos(iy) – cos(x)sin(iy) = sin(x)cosh(y) – i·cos(x)sinh(y)

cos(x – iy) = cos(x)cos(iy) + sin(x)sin(iy) = cos(x)cosh(y) + i·sin(x)sinh(y)

diperoleh hubungan:

5. Sifat Periodik Fungsi Trigonometri

A. Periode Fungsi Sinus, Kosinus, Sekan, dan Kosekan

Fungsi sinus dan kosinus dirumuskan dalam fungsi eksponensial yang periodenya adalah 2iπ, perhatikan rumus Euler bahwa e^{i(θ + 2π)} = cos(θ + 2π) + i·sin(θ + 2π), diperoleh bahwa periode fungsi sinus dan kosinus adalah 2π.

Fungsi kosekan merupakan kebalikan fungsi sinus dan fungsi sekan merupakan kebalikan fungsi kosinus, oleh karena itu periodenya sama, yaitu 2π.

B. Periode Fungsi Tangen dan Kotangen

Perhatikan bahwa sin(z + π) = sin(z)cos(π) + cos(z)sin(π) = –sin(z).

cos(z + π) = cos(z)cos(π) – sin(z)sin(π) = –cos(z).

tan(z + π) = sin(z + π)/cos(z + π) = –sin(z)/[–cos(z)] = sin(z)/cos(z) = tan(z)

Periode fungsi tangen adalah π, begitu juga fungsi kotangen yang merupakan kebalikannya.

C. Pembuat Nol Fungsi Sinus dan Kosinus

• Pembuat nol fungsi sinus

sin(x + iy) = 0

sin(x)cosh(y) + i·cos(x)sinh(y) = 0

sin(x)cosh(y) = 0 ∧ cos(x)sinh(y) = 0, perhatikan bahwa cosh(y) ≥ 1 > 0

sin(x) = 0 ∧ [cos(x) = 0 ∨ sinh(y) = 0], pertimbangkan bahwa mustahil sin(x) = 0 ∧ cos(x) = 0 terjadi bersamaan

sin(x) = 0 ∧ sinh(y) = 0

x = kπ ∧ y = 0; dengan k bilangan bulat.

Jadi, pembuat nol dari fungsi sinus adalah kπ dengan k bilangan bulat.

• Pembuat nol fungsi kosinus

cos(x + iy) = 0

cos(x)cosh(y) – i·sin(x)sinh(y) = 0

cos(x)cosh(y) = 0 ∧ sin(x)sinh(y) = 0, perhatikan bahwa cosh(y) ≥ 1 > 0

cos(x) = 0 ∧ [sin(x) = 0 ∨ sinh(y) = 0], pertimbangkan bahwa mustahil sin(x) = 0 ∧ cos(x) = 0 terjadi bersamaan

cos(x) = 0 ∧ sinh(y) = 0

x = (2k + 1)π/2 ∧ y = 0; dengan k bilangan bulat.

Jadi, pembuat nol dari fungsi kosinus adalah (2k + 1)π/2 dengan k bilangan bulat.

6. Invers Fungsi Trigonometri

A. Invers Fungsi Sinus

Misal w = sin⁻¹(z) ⇔ z = sin(w).

e^iw – e^–iw = 2iz ⇔ e^iw – e^–iw – 2iz = 0 ⇔ (e^iw)² – 2iz(e^iw) – 1 = 0

B. Invers Fungsi Kosinus

Misal w = cos⁻¹(z) ⇔ z = cos(w).

e^iw + e^–iw = 2z ⇔ e^iw + e^–iw – 2z = 0 ⇔ (e^iw)² – 2z(e^iw) + 1 = 0

C. Invers Fungsi Tangen

Misal w = tan⁻¹(z) ⇔ z = tan(w).

e^iw – e^–iw = iz(e^iw + e^–iw) = ize^iw + ize^–iw ⇔ (1 – iz)e^iw + (–1 – iz)e^–iw = 0

⇔ (1 – iz)(e^iw)² + (–1 – iz) = 0

D. Invers Fungsi Kotangen

Misal w = cot⁻¹(z) ⇔ z = cot(w).

z(e^iw – e^–iw) = i(e^iw + e^–iw) ⇔ (z – i)e^iw + (–z – i)e^–iw = 0 ⇔ (z – i)(e^iw)² + (–z – i) = 0

E. Invers Fungsi Sekan
Misal w = sec⁻¹(z) ⇔ z = sec(w).

z(e^iw + e^–iw) = 2 ⇔ ze^iw + ze^–iw – 2 = 0 ⇔ z(e^iw)² – 2e^iw + z = 0

F. Invers Fungsi Kosekan

Misal w = csc⁻¹(z) ⇔ z = csc(w).

z(e^iw – e^–iw) = 2i ⇔ ze^iw – ze^–iw – 2i = 0 ⇔ z(e^iw)² – 2ie^iw – z = 0

G. AIO Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi invers trigonometri bernilai banyak, tetapi dapat dipilih cabang tertentu sehingga bernilai tunggal dan analitik pada domainnya.

7. Turunan Fungsi Invers Trigonometri

A. Turunan Fungsi Invers Sinus

B. Turunan Fungsi Invers Kosinus

C. Turunan Fungsi Invers Tangen

D. Turunan Fungsi Invers Kotangen

E. Turunan Fungsi Invers Sekan

F. Turunan Fungsi Invers Kosekan

G. AIO Turunan Fungsi Invers Trigonometri

8. Komposisi Fungsi Trigonometri dengan Inversnya

A. Fungsi trigonometri dikenakan pada fungsi invers trigonometri

B. Fungsi invers trigonometri dikenakan pada fungsi trigonometri
Sebelum membahas fungsi invers trigonometri dikenakan pada fungsi trigonometri, perhatikan bahwa sudut-sudut yang berelasi hanya dapat ditemukan hubungan tertentu:

sin(π/2 – α) = cos(α),    csc(π/2 – α) = sec(α)

cos(π/2 – α) = sin(α),    sec(π/2 – α) = csc(α)

tan(π/2 – α) = cot(α),    cot(π/2 – α) = tan(α)

Kita peroleh:

sin⁻¹[cos(z)] = π/2 – z,    csc⁻¹[sec(z)] = π/2 – z

cos⁻¹[sin(z)] = π/2 – z,    sec⁻¹[csc(z)] = π/2 – z

tan⁻¹[cot(z)] = π/2 – z,    cot⁻¹[tan(z)] = π/2 – z

Contoh

Misal diberikan persamaan trigonometri

sin(θ) = 2

berapapun nilai θ, untuk setiap θ bilangan real, nilai sin(θ) selalu dalam interval [–1, 1], sehingga tidak ada θ real yang memenuhi.

Akan tetapi ternyata terdapat tak hingga θ yang memenuhi di bilangan kompleks.

Ingat kembali bahwa sin²(θ) + cos²(θ) = 1

cos²(θ) = 1 – 2² = –3

cos(θ) = ±i√3

Ingat kembali rumus Euler:

e^iθ = cos(θ) + i·sin(θ)

e^iθ = ±i√3 + 2i

e^iθ = i(2 ± √3), tarik logaritma masing-masing ruas

iθ = ln(i) + ln(2 ± √3) + 2kiπ

iθ = iπ/2 + ln(2 ± √3) + 2kiπ

iθ = iπ[½ + 2k] + ln(2 ± √3), bagi masing-masing ruas dengan i

θ = π[2k + ½] – i·ln(2 ± √3), dengan k bilangan bulat.