Integral Atas dan Bawah dan Definisi Integral Darboux

1. Integral Atas dan Integral Bawah

Kita akan menyatakan kumpulan semua partisi dari interval I dengan ℘(I). Jika f : I → ℝ terbatas, maka setiap 𝒫 dalam ℘(I) menentukan dua angka: L(f; 𝒫) dan U(f; 𝒫). Dengan demikian, kumpulan 𝒫(I) menentukan dua himpunan angka: himpunan jumlah bawah L(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I), dan himpunan jumlah atas U(f; 𝒫) untuk 𝒫 ∈ ℘(I). Oleh karena itu, kita diarahkan pada definisi berikut.

A. Definisi Integral Atas dan Integral Bawah

Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Integral bawah dari f pada I adalah angka:

L(f) = sup{L(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)},

dan integral atas dari f pada I adalah angka:

U(f) = inf{U(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}.

Karena f adalah fungsi terbatas, kita dijamin akan keberadaan angka-angka berikut:

m = inf{f(x) : x ∈ I} dan M = sup{f(x) : x ∈ I}.

Dapat segera terlihat bahwa untuk setiap 𝒫 ∈ ℘(I), kita memiliki:

m(b – a) ≤ L(f; 𝒫) ≤ U(f; 𝒫) ≤ M(b – a).

Maka dari itu:

m(b – a) ≤ L(f) dan U(f) ≤ M(b – a).

B. Hubungan Integral Atas dan Integral Bawah

Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Maka integral bawah L(f) dan integral atas U(f) dari f pada I ada. Terlebih lagi,

L(f) ≤ U(f).

Bukti:

Jika 𝒫₁ dan 𝒫₂ adalah sembarang partisi dari I, maka L(f; 𝒫₁) ≤ U(f; 𝒫₂). Oleh karena itu, angka U(f; 𝒫₂) merupakan batas atas untuk himpunan {L(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}. Akibatnya, L(f), sebagai supremum dari himpunan ini, memenuhi L(f) ≤ U(f; 𝒫₂). 

Karena 𝒫₂ adalah partisi sembarang dari I, maka L(f) adalah batas bawah untuk himpunan {U(f; 𝒫) : 𝒫 ∈ ℘(I)}.

(∀𝒫 ∈ ℘(I)). L(f) ≤ U(f; 𝒫)

Konsekuensinya, infimum U(f) dari himpunan ini memenuhi ketidaksamaan L(f) ≤ U(f).

Q.E.D.

2. Integral Darboux

A. Definisi Integral Darboux

Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Maka f dikatakan terintegralkan Darboux pada I jika L(f) = U(f). Dalam kasus ini, integral Darboux dari f atas I didefinisikan sebagai nilai L(f) = U(f).

Dengan demikian kita melihat bahwa jika integral Darboux dari suatu fungsi pada suatu interval ada, maka integral tersebut adalah angka riil unik yang terletak di antara jumlah bawah dan jumlah atas. Karena kita akan menetapkan ekivalensi antara integral Darboux dan Riemann, kita akan menggunakan notasi standar

untuk integral Darboux dari suatu fungsi f pada [a, b]. Konteksnya haruslah mencegah timbulnya kebingungan.

B. Kriteria Darboux untuk Integrabilitas

Misalkan I = [a, b] dan misalkan f: I → ℝ adalah fungsi terbatas pada I. Maka f terintegrasi Darboux pada I jika dan hanya jika untuk setiap ε > 0 terdapat suatu partisi P dari I sedemikian sehingga:

U(f; P) – L(f; P) < ε

Bukti:

Jika f terintegrasi, maka kita memiliki L(f) = U(f). Jika diberikan ε > 0, maka dari definisi integral bawah sebagai supremum, terdapat sebuah partisi P₁ dari I sedemikian sehingga L(f) – ε/2 < L(f; P₁). Demikian pula, terdapat sebuah partisi P₂ dari I sedemikian sehingga U(f; P₂) < U(f) + ε/2. Jika kita memisalkan P = P₁ ∪ P₂, maka P adalah penghalusan (refinement) dari P₁ maupun P₂. Akibatnya, kita memperoleh:

L(f) – ε/2 < L(f; P₁) ≤ L(f; P) ≤ U(f; P) ≤ U(f; P₂) < U(f) + ε/2.

Karena L(f) = U(f), kita menyimpulkan bahwa U(f; P) – L(f; P) < ε berlaku.

Untuk membuktikan sebaliknya (konvers), pertama-tama kita amati bahwa untuk sembarang partisi P kita memiliki L(f; P) ≤ L(f) dan U(f) ≤ U(f; P). Oleh karena itu,

U(f) – L(f) ≤ U(f; P) – L(f; P).

Sekarang asumsikan bahwa untuk setiap ε > 0 terdapat suatu partisi P sedemikian sehingga U(f; P) – L(f; P) < ε. Maka kita memiliki:

U(f) – L(f) ≤ U(f; P) – L(f; P) < ε.

Karena ε > 0 bersifat arbitrer (sebarang), kita menyimpulkan bahwa U(f) ≤ L(f). Karena ketidaksamaan L(f) ≤ U(f) selalu benar, maka kita memperoleh L(f) = U(f). Dengan demikian, f terintegrasi Darboux. Q.E.D.

C. Penggunaan Barisan untuk Integrabilitas

Misalkan I = [a, b] dan misalkan f : I → ℝ adalah fungsi terbatas. Jika {Pₙ : n ∈ ℕ} adalah barisan partisi dari I sedemikian sehingga

limₙ (U(f; Pₙ) – L(f; Pₙ)) = 0,

maka f terintegrasi dan hasil integralnya sama dengan limₙ L(f; Pₙ) = limₙ U(f; Pₙ).

Bukti:

Jika diberikan ε > 0, berdasarkan hipotesis maka terdapat K sedemikian sehingga jika n ≥ K maka U(f; Pₙ) – L(f; Pₙ) < ε, yang mana integrabilitas f mengikuti Kriteria Integrabilitas.

Ini berarti untuk sebarang ε > 0 terdapat partisi Pₙ sehingga U(f; Pₙ) – L(f; Pₙ) < ε.

Berdasarkan Kreteria Darboux untuk Integrabilitas disimpulkan f terintegral Darboux.

Perhatikan bahwa sebarang ε > 0, terdapat bilangan asli K sehingga untuk setiap bilangan asli n >= K berlaku

Ini berarti

Perhatikan bahwa sebarang ε > 0, terdapat bilangan asli K sehingga untuk setiap bilangan asli n >= K berlaku

Ini berarti

Q.E.D.

Signifikansi dari corollary (akibat) ini adalah fakta bahwa meskipun definisi integral Darboux melibatkan himpunan semua partisi yang mungkin dari suatu interval, untuk fungsi tertentu, keberadaan integral dan nilainya sering kali dapat ditentukan oleh barisan partisi yang khusus.

3. Sifat-Sifat Integral Darboux

Misal f dan g fungsi terintegral Darboux dan k suatu bilangan real, berlaku:

a. Sifat Homogen

b. Sifat Aditif

c. Sifat Pembandingan
Jika (∀x ∈ [a, b]). f(x) ≤ g(x), maka

d. Sifat Partisioning

Jika c ∈ [a, b], maka

4. Sifat Aditif Integral Darboux (tanpa syarat integrabilitas)

Misal f terdefinisikan pada I₁ dan I₂, yang keduanya merupakan interval saling lepas (kecuali pada ujung). Jika L₁(f) dan L₂(f) masing-masing integral bawah dari I₁ dan I₂, U₁(f) dan U₂(f) masing-masing integral atas dari I₁ dan I₂, maka integral bawah dan integral atas fungsi f pada gabungan kedua interval adalah:

L(f) = L₁(f) + L₂(f) dan U(f) = U₁(f) + U₂(f)

5. Lebih Lanjut Kriteria Integrabilitas

Misal diberikan fungsi f : I = [a, b] → ℝ yang terbatas. Pernyataan berikut ekivalen:

(i) Fungsi f terintegral Darboux pada I

(ii) Untuk setiap ε > 0 terdapat partisi P = (x₀, x₁, . . . , xₙ) dari I sehingga

(iii) Untuk setiap ε > 0 terdapat partisi P = (x₀, x₁, . . . , xₙ) dari I sehingga

dengan wₖ = sup{f(x) – f(y) : x, y ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}.

Contoh

1. Fungsi konstan terintegral Darboux, dimana misal fungsi f didefinisikan pada [a, b] dengan f(x) = k untuk semua x ∈ [a, b].

Apapun partisinya, selalu L(f; P) = k(b – a) dan U(f; P) = k(b – a). Oleh karena itu f terintegral Darboux dengan hasil integralnya adalah k(b – a).

2. Misal diberikan fungsi f : I = [0, 1] → ℝ dengan (∀x ∈ I). f(x) = x.

Misal barisan partisi (Pₙ) dengan Pₙ = (0, 1/n, 2/n, ..., 1), diperoleh:

Limitkan selisih tersebut

Karena limit dari U(f; Pₙ) – L(f; Pₙ) adalah 0, f terintegral Darboux pada I dengan integralnya

3. Misal diberikan fungsi f : I = [0, 1] → ℝ dengan

Karena diantara 2 bilangan real selalu ada bilangan rasional dan bilangan irasional, apapun partisi P yang dibentuk, untuk setiap subintervalnya selalu ada bilangan rasional dan bilangan irasional.

Akibatnya untuk setiap subinterval, supremum dari nilai fungsi f selalu 1 dan infimumnya selalu 0.

Jika dijumlahkan, selalu diperoleh L(f; P) = 0 dan U(f; P) = 1.

Karena P sebarang, diperoleh L(f) = 0 dan U(f) = 1.

Jadi, f tidak terintegral Darboux.