Integral Darboux : Konsep Dasar

1. Jumlah Atas dan Jumlah Bawah

A. Partisi

Jika I = [a, b] adalah interval tertutup dan terbatas di R, maka partisi dari I adalah set berurutan hingga P = (x₀, x₁, ..., xₙ₋₁, xₙ) dari titik-titik di I sedemikian sehingga:

a = x₀ < x₁ < ... < xₙ₋₁ < xₙ = b

Titik-titik dari P digunakan untuk membagi I = [a, b] menjadi sub-interval yang tidak tumpang tindih:

I₁ = [x₀, x₁], I₂ = [x₁, x₂], ..., Iₙ = [xₙ₋₁, xₙ]

B. Jumlah Atas dan Jumlah Bawah

Misalkan ƒ : I → ℝ adalah fungsi terbatas pada I = [a, b] dan misalkan 𝒫 = (x₀, x₁, . . . , xₙ) adalah partisi dari I. Untuk k = 1, 2, ..., n kita tetapkan

mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}, Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}.

Jumlah bawah dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan L(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai

dan jumlah atas dari ƒ yang bersesuaian dengan partisi 𝒫, disimbolkan U(ƒ; 𝒫), didefinisikan sebagai

Jika ƒ adalah fungsi positif, maka jumlah bawah L(ƒ; 𝒫) dapat diinterpretasikan sebagai luas dari gabungan persegi panjang dengan alas [xₖ₋₁, xₖ] dan tinggi mₖ. Demikian pula, jumlah atas U(ƒ; 𝒫) dapat diinterpretasikan sebagai luas dari gabungan persegi panjang dengan alas [xₖ₋₁, xₖ] dan tinggi Mₖ. Interpretasi geometris ini menunjukkan bahwa, untuk suatu partisi tertentu, jumlah bawah bernilai kurang dari atau sama dengan jumlah atas.

C. Hubungan Jumlah Bawah dengan Jumlah Atas

Misal ditetapkan m = inf{ƒ(x) : x ∈ [a, b]}, M = sup{ƒ(x) : x ∈ [a, b]}.

Karena Untuk k = 1, 2, ..., n berlaku [xₖ₋₁, xₖ] ⊆ [a, b] kita memiliki hubungan

m ≤ mₖ ≤ Mₖ ≤ M

Jika dijumlahkan, diperoleh hubungan untuk sebarang partisi 𝒫 sebagai berikut:

m(b – a) ≤ L(ƒ; 𝒫) ≤ U(ƒ; 𝒫) ≤ M(b – a)

Contoh:

Hitung jumlah bawah dan jumlah atas untuk f(x) = –2x + 5 yang bersesuaian dengan partisi P: –3 < –1,3 < 0 < 0,9 < 2.

L(ƒ; 𝒫) = 12,92 + 6,5 + 2,88 + 1,1 = 23,4

U(ƒ; 𝒫) = 18,7 + 9,88 + 4,5 + 3,52 = 36,6

Jadi, untuk fungsi f dan partisi P tersebut, jumlah bawahnya 23,4 dan jumlah atasnya 36,6.

2. Penghalusan Partisi

A. Definisi Penghalus

Jika P = (x₀, x₁, ..., xₙ) dan Q = (y₀, y₁, ..., yₘ) adalah partisi-partisi dari I, kita katakan bahwa Q adalah sebuah penghalusan dari P jika setiap titik partisi xₖ ∈ P juga termasuk dalam Q (yaitu, jika P ⊆ Q).

Sebuah penghalusan Q dari sebuah partisi P dapat diperoleh dengan menambahkan sejumlah titik berhingga ke dalam P. Dalam hal ini, setiap interval [xₖ₋₁, xₖ] yang dibentuk oleh pembagian P terhadap I dapat dituliskan sebagai gabungan dari interval-interval yang titik-titik ujungnya termasuk dalam Q; yaitu,

[xₖ₋₁, xₖ] = [yⱼ₋₁, yⱼ] ∪ [yⱼ, yⱼ₊₁] ∪ ··· ∪ [yₕ₋₁, yₕ]

B. Hubungan Hasil Jumlah Penghalus Partisi

Jika f : I → ℝ terbatas, jika P adalah partisi dari I, dan jika Q adalah penghalusan dari P, maka:

L(f; P) ≤ L(f; Q) dan U(f; Q) ≤ U(f; P)

Bukti:

Misalkan P = (x₀, x₁, ..., xₙ). Kita pertama-tama memeriksa pengaruh dari penambahan satu titik ke P. Misalkan v ∈ I memenuhi xₖ₋₁ < v < xₖ dan misalkan P' adalah partisi:

P' = (x₀, x₁, ..., xₖ₋₁, v, xₖ, ..., xₙ),

yang diperoleh dari P dengan menambahkan v ke P. Misalkan m'ₖ dan m''ₖ adalah bilangan-bilangan:

m'ₖ = inf{f(x) : x ∈ [xₖ₋₁, v]}, m''ₖ = inf{f(x) : x ∈ [v, xₖ]}.

Maka mₖ ≤ m'ₖ dan mₖ ≤ m''ₖ (karena hubungan subset-superset) dan oleh karena itu:

mₖ(xₖ – xₖ₋₁) = mₖ(v – xₖ₋₁) + mₖ(xₖ – v) ≤ m'ₖ(v – xₖ₋₁) + m''ₖ(xₖ – v).

Jika kita menambahkan suku-suku mⱼ(xⱼ – xⱼ₋₁) untuk j ≠ k ke pertidaksamaan di atas, kita memperoleh L(f; P) ≤ L(f; P').

Sekarang, jika Q adalah sebarang penghalusan dari P (yaitu, jika P ⊆ Q), maka Q dapat diperoleh dari P dengan menambahkan sejumlah berhingga titik ke P satu demi satu. Oleh karena itu, dengan mengulang argumen sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa L(f; P) ≤ L(f; Q).

Selain itu, misalkan M'ₖ dan M''ₖ adalah bilangan-bilangan:

M'ₖ = sup{f(x) : x ∈ [xₖ₋₁, v]}, M''ₖ = sup{f(x) : x ∈ [v, xₖ]}.

Maka Mₖ ≥ M'ₖ dan Mₖ ≥ M''ₖ (karena hubungan subset-superset) dan oleh karena itu:

Mₖ(xₖ – xₖ₋₁) = Mₖ(v – xₖ₋₁) + Mₖ(xₖ – v) ≥ M'ₖ(v – xₖ₋₁) + M''ₖ(xₖ – v).

Jika kita menambahkan suku-suku Mⱼ(xⱼ – xⱼ₋₁) untuk j ≠ k ke pertidaksamaan di atas, kita memperoleh U(f; P) ≥ U(f; P').

Sekarang, jika Q adalah sebarang penghalusan dari P (yaitu, jika P ⊆ Q), maka Q dapat diperoleh dari P dengan menambahkan sejumlah berhingga titik ke P satu demi satu. Oleh karena itu, dengan mengulang argumen sebelumnya, kita dapat menyimpulkan bahwa U(f; P) ≥ U(f; Q).

Q.E.D.

C. Hubungan Jumlah Bawah dan Jumlah Atas Sesama Partisi dari Interval yang Sama

Misalkan f : I → ℝ terbatas. Jika P₁, P₂ adalah dua partisi sebarang dari I, maka L(f; P₁) ≤ U(f; P₂).

Bukti:

Misalkan Q = P₁ ∪ P₂ menjadi partisi yang diperoleh dengan menggabungkan titik-titik dari P₁ dan P₂. Maka Q adalah penghalusan dari P₁ sekaligus P₂. Oleh karena itu, berdasarkan 

L(f; Q) ≤ U(f; Q), dan 

L(f; P₁) ≤ L(f; Q) dan U(f; Q) ≤ U(f; P₂)

kita menyimpulkan bahwa

L(f; P₁) ≤ L(f; Q) ≤ U(f; Q) ≤ U(f; P₂).

Q.E.D.