Integral Sepanjang Lintasan pada Bidang Kompleks

Kita akan menghitung integral dari fungsi variabel kompleks f. Pendefinisian integral ini bergantung pada nilai f sepanjang lintasan C dari titik z₁ ke titik z₂ pada bidang kompleks. Oleh karena itu, ini merupakan integral garis atau integral kontur dan nilainya secara umum bergantung pada lintasan C dan fungsi f. Ditulis sebagai:

Jika nilai integral tidak bergantung pada lintasan yang dipilih di antara dua titik tetap, dapat dinotasikan gunakan notasi:

1. Definisi Parametrik Integral Lintasan

Misalkan persamaan:

z = z(t); a ≤ t ≤ b

merepresentasikan suatu lintasan C dari titik z(a) ke titik z(b), di mana z(t) = x(t) + iy(t). Misalkan fungsi f(z) kontinu bagian demi bagian pada interval tersebut. Kita mendefinisikan integral lintasan dari f sepanjang C sebagai:

Karena C adalah lintasan, z'(t) kontinu bagian demi bagian, sehingga integral ini dijamin eksistensinya.

2. Konstruksi Formal Melalui Partisi (Limit Jumlah Riemann)

Secara lebih formal, integral lintasan kompleks dapat dibangun melalui konsep partisi, serupa dengan integral Riemann di kalkulus real.

Diberikan lintasan C dengan titik awal α dan akhir β. P adalah sembarang partisi dari [a, b], yakni P = {t₀, t₁, t₂, …, tₙ}. Lintasan C terbagi atas n bagian dengan titik ujung zⱼ. Kita pilih titik sampel ζⱼ pada setiap sub-busur. Dibentuk jumlah Riemann:

di mana Δzⱼ = zⱼ – zⱼ₋₁. Jika jumlah tersebut mempunyai limit untuk semua Δzⱼ mendekati nol, maka limit ini dinamakan integral lintasan fungsi f sepanjang C:

3. Hubungan dengan Bagian Real dan Imajiner

Integral kompleks dapat diuraikan menjadi integral garis variabel real. Jika f(z) = u(x, y) + iv(x, y) dan Δzⱼ = Δxⱼ + iΔyⱼ, maka jumlah Riemann dapat dipecah menjadi:

Dengan mengambil limit, diperoleh hubungan penting:

4. Sifat-Sifat Integral Lintasan

Berikut adalah sifat-sifat aljabar dan geometris dari integral lintasan kompleks.

A. Linearitas

Untuk sebarang konstanta kompleks k dan fungsi f, g:

B. Lintasan Terbalik (Reversal of Path)

Jika –C adalah lintasan yang sama dengan C tetapi dengan arah yang berlawanan (dari z₂ ke z₁), maka:

C. Gabungan Lintasan (Additivity)

Jika lintasan C terdiri dari lintasan C₁ dari z₁ ke z₂ diikuti oleh C₂ dari z₂ ke z₃ (C = C₁ + C₂), maka:

Sifat ini juga berlaku secara umum untuk n bagian lintasan: C = C₁ + C₂ + ... + Cₙ.

5. Teorema Nilai Perkiraan (Estimasi Integral)

Teorema ini memberikan batas atas (estimasi) untuk nilai mutlak integral lintasan tanpa perlu menghitung nilai eksaknya.

Jika f kontinu pada lintasan C yang panjangnya L, dan terdapat konstanta M ≥ 0 sedemikian sehingga |f(z)| ≤ M untuk setiap z pada C, maka:

6. Teorema Green

Diberikan lintasan tertutup tunggal C dan E daerah yang dibatasi olehnya. Jika P(x, y) dan Q(x, y) terdefinisi pada E, beserta turunan parsialnya pada E, maka:

Di mana arah lintasan C diambil positif (berlawanan arah jarum jam). Jika arah lintasan dibalik (B = –C), maka tanda integral berubah menjadi negatif.

Contoh Soal

1. Diberikan C adalah busur seperempat lingkaran |z| = 3 yang terletak di kuadran pertama dan f(z) = 1/(1 + z²).

1a. Buktikan bahwa nilai mutlak hasil integral fungsi f sepanjang lintasan C terbatas atas oleh 3π/16.

Diberikan f(z) = 1/(1 + z²) yang merupakan fungsi rasional, sehingga selalu kontinu asalkan penyebutnya taknol. Berarti f kontinu pada ℂ\{–i, i}.

Diberikan C busur seperempat lingkaran berjari-jari 3, panjang busur tersebut adalah keliling seperempat lingkaran.

C = {z: |z| = 3; Re(z) > 0; Im(z) > 0}.

Karena {–i, i} ∩ C = ∅, f kontinu pada C.

L = ¼·2π·3 = 3π/2.

Menurut ketaksamaan segitiga, 

|1 + z²| ≥ |(|1| – |z|²)| = |1 – 3²| = 8, karena 0 < 8 ≤ |1 + z²| berlaku:

|f(z)| = |1/(1 + z²)| = 1/|1 + z²| ≤ 1/8 = M

Menurut teorema nilai perkiraan, hasil integralnya terbatas atas oleh ML = 1/8 · 3π/2 = 3π/16.

1b. Tentukan hasil integral fungsi f sepanjang lintasan C untuk arah positif, lalu verifikasi nilai mutlak

Diberikan C = {z: |z| = 3; Re(z) > 0; Im(z) > 0}, dalam bentuk parameter:

z = 3·cos(t) + i·3·sin(t); 0 ≤ t ≤ π/2.

Ubah f(z) = 1/|1 + z²| ke bentuk t:

Hitung integral

Nilai mutlak integralnya adalah ¼·ln(5/4) ≈ 0,0558 < 3π/16 ≈ 0,589.

2. Buktikan bahwa jika f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka ∮(v dy + u dx) = 0.

f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Diberikan f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, oleh karena itu u dan v memenuhi persamaan Cauchy-Riemann, yaitu ∂u/∂x = ∂v/∂y, sehingga ∂u/∂x – ∂v/∂y = 0.

Diberikan C lintasan tertutup, misal E daerah yang dibatasi oleh C, diberikan f analitik, maka u dan v analitik sehingga turunan-turunan parsialnya kontinu pada E, menurut teorema Green: