Lebih Lanjut Integral Darboux dan Ekivalensi dengan Integral Riemann

1. Fungsi Kontinu dan Fungsi Monoton

Telah ditunjukkan bahwa fungsi-fungsi yang kontinu atau monoton pada interval tertutup terbatas adalah terintegralkan secara Riemann. Bukti-bukti tersebut menggunakan pendekatan melalui fungsi tangga dan Teorema Apit sebagai alat utamanya. Kedua bukti tersebut menggunakan fakta esensial bahwa baik fungsi kontinu maupun fungsi monoton mencapai nilai maksimum dan nilai minimum pada interval tertutup terbatas.

Artinya, jika f adalah fungsi kontinu atau monoton pada [a, b], maka untuk sebuah partisi P = (x₀, x₁, ..., xₙ), angka-angka Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ Iₖ} dan mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ Iₖ}, k = 1, 2, ..., n, dicapai sebagai nilai fungsi. Untuk fungsi kontinu, ini adalah Teorema Maksimum-Minimum, dan untuk fungsi monoton, nilai-nilai ini dicapai pada titik ujung kanan dan kiri interval tersebut.

Jika kita mendefinisikan fungsi tangga ω pada [a, b] dengan ω(x) = Mₖ untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ) untuk k = 1, 2, ..., n – 1, dan ω(x) = Mₙ untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ], maka kita mengamati bahwa integral Riemann dari ω diberikan oleh:

Sekarang kita mengenali jumlah di sisi kanan tersebut sebagai jumlah Darboux atas U(f; P), sehingga kita memperoleh:

Demikian pula, jika fungsi tangga α didefinisikan oleh α(x) = mₖ untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ), k = 1, 2, ..., n – 1, dan α(x) = mₙ untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ], maka kita memiliki integral Riemann:

Pengurangan kemudian memberikan kita:

Dengan demikian, kita melihat bahwa Kriteria Keterintegralan adalah padanan integral Darboux untuk Teorema Apit pada integral Riemann.

Oleh karena itu, jika kita memeriksa bukti-bukti Teorema yang menetapkan keterintegralan Riemann untuk fungsi kontinu dan monoton, lalu mengganti integral fungsi tangga dengan jumlah bawah dan atas yang bersesuaian, maka kita memperoleh bukti teorema tersebut untuk integral Darboux. Jadi kita memiliki teorema berikut:

(i) Jika f kontinu pada I, maka f terintegral Darboux pada I

(i) Jika f monoton pada I, maka f terintegral Darboux pada I

2. Ekivalensi Integral Darboux dengan Integral Riemann

f terintegral Riemann pada I = [a, b] jika dan hanya jika f terintegral Daurbox pada I = [a, b].

Bukti:

• Jika f terintegral Darboux pada I = [a, b], maka f juga terintegral Riemann pada I

Diberikan fungsi f terintegral Darboux pada I = [a, b]. Ambil sebarang ε > 0, misal P partisi dari [a, b] sehingga U(f, P) – L(f, P) < ε.

Misal didefinisikan fungsi tangga α dan ω pada [a, b] dengan

α(x) = mₖ = inf{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]} dan ω(x) = Mₖ = sup{ƒ(x) : x ∈ [xₖ₋₁, xₖ]}; untuk x ∈ [xₖ₋₁, xₖ), dan

α(x) = mₙ = inf{ƒ(x) : x ∈ [xₙ₋₁, xₙ]} dan ω(x) = Mₙ = sup{ƒ(x) : x ∈ [xₙ₋₁, xₙ]}; untuk x ∈ [xₙ₋₁, xₙ].

Sehingga diperoleh:

(∀x ∈ [a, b]). α(x) ≤ f(x) ≤ ω(x)

Menurut teorema Integrabilitas Fungsi Tangga, fungsi-fungsi tersebut terintegral Riemann dan integralnya adalah:

Oleh karena itu, kita memiliki:

Menurut teorema apit, f terintegral Riemann. Lebih lanjut, untuk setiap partisi P, integral Riemann dari f terletak diantara L(f, P) dan U(f, P). Oleh karena itu integral Riemann dari f sama dengan integral Darboux dari f.

• Jika f terintegral Riemann pada I = [a, b], maka f juga terintegral Darboux pada I

Diberikan fungsi f terintegral Riemann pada I = [a, b]. Misal hasil integralnya adalah A, menurut teorema keterbatasan, f terbatas pada I = [a, b].

Misal diberikan sebarang ε > 0, terdapat δ > 0 sehingga untuk setiap partisi tertanda P ̇ dengan ‖P‖ < δ, berlaku |S(f, P) – A| < ε ⇔ A – ε < S(f, P) < A + ε …(i)

Misal P = (a = x₀, x₁, ..., xₙ = b), mₖ = inf⁡{f(x) : x ∈ Iₖ}, Mₖ = sup⁡{f(x) : x ∈ Iₖ}, kita dapat memilih tₖ ∈ Iₖ ∋ Mₖ – ε/(b – a) < f(tₖ), sehingga diperoleh:

U(f) – ε ≤ U(f, P) – ε = 

Dari (i) dan (ii) diperoleh:

U(f) – ε ≤ U(f, P) – ε < S(f, P) < A + ε ⇔ U(f) < A + 2ε ⇔ U(f) ≤ A …(iii)

Selain itu, kita juga dapat memilih tₖ' ∈ Iₖ ∋ f(tₖ) < mₖ + ε/(b – a), sehingga diperoleh:

=L(f, P) + ε ≤ L(f) + ε …(iv)

Dari (i) dan (iv) diperoleh:

A – ε < S(f, P) < L(f, P) + ε ≤ L(f) + ε ⇔ A – 2ε ≤ L(f) ⇔ A ≤ L(f) …(v)

Dari (iii) dan (v) diperoleh:

A ≤ L(f) ≤ U(f) ≤ A

Ini berarti L(f) = U(f) = A. Oleh karena itu, fungsi f terintegralkan Darboux dengan nilai sama dengan integral Riemann.