Lintasan pada Bidang Kompleks

1. Definisi dan Representasi Parametrik Kurva

Himpunan titik z = (x, y) pada bidang kompleks disebut sebagai busur (arc) atau kurva jika ditentukan oleh persamaan parametrik:

z = z(t) = x(t) + iy(t); (a ≤ t ≤ b)

di mana x(t) dan y(t) adalah fungsi kontinu bernilai riil (real) dari parameter riil t.

• Titik z(a) dinamakan titik awal dan z(b) dinamakan titik akhir.

• Representasi parametrik ini tidaklah unik; parameter t dapat diganti dengan parameter lain (misalnya τ) melalui transformasi t = ϕ(τ) asalkan orientasi tetap terjaga (ϕ'(τ) > 0).

2. Klasifikasi Kurva

Berdasarkan perilaku titik-titik dan ujungnya, kurva dikategorikan sebagai berikut:

• Busur Sederhana (Simple Arc/Jordan Arc): Kurva yang tidak memotong dirinya sendiri. Artinya,

z(t₁) ≠ z(t₂) untuk setiap t₁ ≠ t₂.

• Kurva Tertutup Sederhana (Simple Closed Curve/Jordan Curve): Kurva sederhana yang titik awal dan titik akhirnya berimpit (z(a) = z(b)), namun tidak memotong diri sendiri di titik lain.

• Kurva Tertutup Ganda: Kurva tertutup yang memotong dirinya sendiri.

3. Diferensiabilitas dan Kurva Mulus (Smooth Arc)

Misalkan turunan z'(t) = x'(t) + iy'(t) ada dan kontinu pada interval a ≤ t ≤ b, maka busur tersebut disebut busur terdiferensialkan (differentiable arc). Busur dikatakan mulus (smooth) jika memenuhi syarat tambahan:

1. Turunan z'(t) kontinu pada selang tertutup [a, b].

2. Turunan z'(t) ≠ 0 (tidak nol) di sepanjang selang terbuka a < t < b.

Interpretasi Geometris:

Syarat z'(t) ≠ 0 menjamin adanya vektor singgung satuan (T) yang terdefinisi dengan baik:

Vektor ini berputar secara kontinu seiring perubahan t, sehingga kurva tidak memiliki "sudut tajam" atau patahan.

4. Panjang Busur

Panjang (L) dari suatu busur mulus atau kontur didefinisikan sebagai integral dari nilai mutlak turunannya:

Nilai L ini bersifat invarian (tidak berubah) meskipun dilakukan perubahan representasi parameter.

5. Lintasan (Path) atau Kontur

Lintasan atau Kontur adalah busur yang mulus sebagian-sebagian (piecewise smooth). Ini terdiri dari sejumlah berhingga busur mulus yang disambung ujung ke ujung.

• Dapat ditulis sebagai rangkaian C = C₁ + C₂ + ... + Cₙ

• Jika z(t) merepresentasikan kontur, maka fungsi z(t) kontinu, tetapi turunannya z'(t) kontinu bagian demi bagian (mungkin tidak kontinu di titik sambungan).

• Contoh kontur: Garis poligonal, batas segitiga, atau persegi panjang.

6. Orientasi dan Arah

Untuk suatu lintasan atau kontur, arah seiring bertambahnya parameter t dari titik awal ke titik akhir disebut arah positif (kecuali ditentukan lain).

Khusus untuk Lintasan Tertutup Tunggal (Kurva Jordan): Arah positif adalah arah penelusuran di mana daerah interior (bagian dalam) kurva selalu berada di sebelah kiri pengamat, sedangkan arah negatif adalah arah sebaliknya (biasanya searah jarum jam untuk batas luar).

7. Teorema Kurva Jordan

Titik-titik pada sebarang lintasan tertutup sederhana (C) membagi bidang kompleks menjadi dua domain terpisah:

• Interior C: Bagian dalam yang terbatas (bounded).

• Eksterior C: Bagian luar yang tidak terbatas (unbounded).

Batas dari kedua domain tersebut adalah C itu sendiri.

Contoh-Contoh Lintasan

1. Lingkaran berpusat di z₀ = x₀ + iy₀ berjari-jari R umumnya dinyatakan dalam bentuk

x = x₀ + R·cos(t); y = y₀ + R·sin(t); 0 ≤ t ≤ 2π

2. Suatu lintasan tertutup C yang merupakan bagian-bagian dari garis x = 1 dan parabola y² = x ke arah positif dinyatakan dalam bentuk:

C = C₁ + C₂ dengan

C₁: x = 1; y = t; –1 ≤ t ≤ 1

C₂: x = t²; y = t; –1 ≤ t ≤ 1