Metode Euler untuk Perdif Numerik

1. Apa Itu Metode Euler?

Secara sederhana, Metode Euler (atau sering disebut Forward Euler Method) adalah teknik paling dasar untuk menyelesaikan Persamaan Diferensial Biasa orde satu. Metode ini termasuk dalam kategori metode satu langkah (single-step explicit method).

Metode ini adalah yang paling kurang teliti dibandingkan metode lain. Lantas, kenapa kita harus mempelajarinya?. Metode ini perlu dipelajari mengingat kesederhanaannya dan mudah pemahamannya, sehingga memudahkan dalam mempelajari metode lain yang lebih teliti.

Jadi, anggaplah Metode Euler sebagai "batu loncatan" atau pondasi dasar sebelum melangkah ke metode yang lebih teliti seperti Runge-Kutta.

2. Rumus Metode Euler

Misalkan kita punya persamaan diferensial:

dy/dx = f(x, y)

Dengan kondisi awal y(x₀) = y₀

Rumus iterasi untuk mencari nilai y berikutnya adalah:

yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ, yₙ)

Di mana:

yₙ₊₁ adalah nilai baru yang kita cari.

yₙ adalah nilai saat ini.

f(xₙ, yₙ) adalah kemiringan (slope) atau gradien di titik saat ini.

h adalah ukuran langkah atau Δx.

3. Bagaimana Cara Kerjanya? (Interpretasi Geometris)

Bayangkan sebuah kurva grafik. Metode Euler bekerja dengan prinsip garis singgung.

• Di titik awal (x₀, y₀), kita hitung gradiennya menggunakan f(x₀, y₀).

• Kita tarik garis lurus sesuai gradien tersebut sejauh jarak h.

• Titik ujung garis tersebut dianggap sebagai prediksi nilai y berikutnya (y₁).

Secara visual, kita memprediksi nilai yᵢ₊₁ dengan mengekstrapolasi kemiringan fungsi secara linier. Namun, karena kurva asli biasanya melengkung, garis lurus ini pasti akan sedikit meleset dari solusi eksak. Selisih inilah yang kita sebut Error.

4. Dari Mana Rumus Ini Berasal?

A. Menggunakan Deret Taylor

Kita bisa menguraikan fungsi menggunakan Deret Taylor. Jika kita memotong deret tersebut setelah suku pertama (mengabaikan orde ke-2 dan seterusnya), kita mendapatkan rumus Euler. Suku yang dibuang (O(h²)) inilah yang menjadi sumber utama ketidaktepatan metode ini.

B. Menggunakan Integral

Jika kita mengintegralkan persamaan diferensial dari x₀ ke x₁:

Metode Euler berasumsi bahwa kemiringan f(x, y) adalah konstan sepanjang interval tersebut. Dengan asumsi ini, integralnya menjadi sederhana: h × f(x₀, y₀).

5. Analisis Error

Dalam dunia numerik, tidak ada yang sempurna. Ada dua jenis kesalahan (error) yang harus diwaspadai:

A. Kesalahan Pemotongan (Truncation Error):

Ini terjadi karena metode Euler "memotong" rumus matematika asli (seperti memotong deret Taylor).

• Lokal: Error dalam satu langkah hitungan. Besarnya sebanding dengan kuadrat langkahnya, atau O(h²).

• Global: Akumulasi error dari awal sampai akhir. Besarnya sebanding dengan h atau O(h).

B. Kesalahan Pembulatan (Round-off Error):

Ini terjadi karena keterbatasan komputer (banyak digit) dalam menyimpan angka.

6. Kondisi Serba Salah

Di sinilah seni komputasi bermain.

• Jika kita memperkecil h (langkah diperhalus), secara teori hasil matematikanya makin akurat (truncation error turun).

• TAPI, jika h terlalu kecil, langkah perhitungan jadi sangat banyak. Ini membuat round-off error menumpuk. Akibatnya, total error justru bisa meningkat jika h dibuat terlalu kecil.

Metode Euler adalah teknik "kasar" namun fundamental. Ia mengajarkan kita konsep dasar prediksi berbasis gradien. Meskipun memiliki error yang cukup besar (O(h) secara global), memahaminya adalah kunci untuk menguasai metode numerik yang lebih rumit.

Contoh Soal

Tentukan nilai y(1) jika diberikan nilai awal y(0) = 1 untuk Perdif berikut:

dy/dt = –2ty²

Gunakan metode Euler dengan h = 0,2.

Diberikan f(t, y) = –2ty²; h = 0,2; dan y(0) = 1.

y(0,2) = y(0) + (0,2)·f(0, 1) = 1 + (0,2)·[–2·0·1²] = 1

y(0,4) = 1 + (0,2)·[–2(0,2)·1²] = 0,92

y(0,6) = 0,92 + (0,2)·[–2(0,4)·(0,92)²] = 0,784576

y(0,8) = 0,784576 + (0,2)·[–2(0,6)·(0,784576)²] = 0,636842

y(1) = 0,636842 + (0,2)·[–2(0,8)·(0,636842)²] = 0,50706

Jadi, nilai y(1) adalah 0,50706.

Perhatikan bahwa solusi eksak dari Perdif ini adalah y = 1/(1 + t²), berikut ini tabel error relatif:

t	y	f(t, y)	y eksak	Error relatif
0	1	0	1	0%
0,2	1	-0,4	0,961538	4%
0,4	0,92	-0,67712	0,862069	6,72%
0,6	0,784576	-0,73867	0,735294	6,702336%
0,8	0,636842	-0,64891	0,609756	4,442042%
1	0,50706	-0,51422	0,5	1,412032%

Error relatif untuk y(1) adalah 1,412032%.