Metode Runge-Kutta Orde 2 untuk Perdif Numerik
Halo Sixtyfourians! Pernah nggak sih kalian merasa frustrasi saat menyelesaikan persamaan diferensial biasa menggunakan Metode Euler? Hasilnya sering meleset (kurang teliti), dan kalau mau teliti, kita harus bikin interval langkah (Δx atau h) jadi super kecil yang bikin komputer kita kerja keras bagai kuda.
Atau, opsi lainnya adalah menggunakan Deret Taylor orde tinggi. Tapi jujur saja, siapa yang mau menurunkan fungsi berkali-kali secara manual? Itu ribet banget!.
Nah, di postingan kali ini, kita akan membahas: Metode Runge-Kutta (RK), khususnya Orde 2. Metode ini memberikan ketelitian setara Deret Taylor tanpa perlu repot-repot mencari turunan fungsi.
1. Apa Itu Metode Runge-Kutta?
Intinya, Runge-Kutta adalah metode untuk memprediksi nilai y selanjutnya (yᵢ₊₁) dengan menghitung rata-rata tertimbang dari kemiringan (slope) di beberapa titik dalam satu interval langkah. Bentuk umumnya seperti ini:
yᵢ₊₁ = yᵢ + (a₁k₁ + a₂k₂ + ... + aₙkₙ)h
Dimana k adalah kemiringan di berbagai titik evaluasi.
Fun Fact: Metode Runge-Kutta Orde 1 itu sebenarnya sama persis dengan Metode Euler. Jadi Euler adalah versi paling sederhana dari keluarga Runge-Kutta.
2. Bedah Rumus: Darimana Datangnya Runge-Kutta Orde 2?
Fokus kita kali ini adalah RK Orde 2. Idenya adalah kita ingin mendapatkan akurasi setara Deret Taylor orde ke-2, tapi kita mengganti suku turunannya dengan evaluasi fungsi di titik lain. Persamaan dasar RK Orde 2 adalah:
yᵢ₊₁ = yᵢ + (a₁k₁ + a₂k₂)h
Komponennya:
k₁ (Kemiringan Awal): f(xᵢ, yᵢ), ini sama seperti di Euler.
k₂ (Kemiringan Prediksi): f(xᵢ + p₁h, yᵢ + q₁₁k₁h), kemiringan di titik yang "sedikit digeser".
3. Mencari Nilai Konstanta (The "Matching" Game)
Para ahli matematika menemukan nilai konstanta a₁, a₂, p₁, dan q₁₁ dengan cara: Menyamakan Koefisien.
• Mereka mengambil Deret Taylor orde 2 untuk fungsi dua variabel.
• Mereka mengekspansi rumus RK2 di atas.
• Kedua persamaan tersebut disetarakan (dicocokkan).
Hasilnya adalah sistem persamaan berikut:
a₁ + a₂ = 1
a₂p₁ = ½
a₂q₁₁ = ½
Karena kita punya 4 variabel tapi cuma 3 persamaan, artinya kita punya tak berhingga solusi. Kita bebas memilih nilai a₂, dan variabel lain akan menyesuaikan.
a₁ = 1 – a₂; dan p₁ = q₁₁ = 1/(2a₂)
Inilah yang melahirkan berbagai variasi metode RK2!.
4. Seberapa Akurat Metode Ini?
Kalau dibandingkan dengan Euler, Runge-Kutta Orde 2 jauh lebih superior.
Galat per langkah (Lokal): O(h³)
Galat kumulatif (Global): O(h²)
Artinya, galatnya berkurang secara kuadratik seiring pengecilan h. Ini memungkinkan kita menggunakan ukuran langkah (h) yang lebih besar untuk mendapatkan akurasi yang sama dengan Euler, sehingga hemat waktu komputasi!.
5. Variasi Populer Metode Runge-Kutta Orde 2
Berdasarkan nilai a₂ yang dipilih, ada tiga metode "rasa" Runge-Kutta Orde 2 yang paling terkenal:
A. Metode Heun (a₂ = ½)
Di sini kita memilih a₁ = ½ dan p₁ = q₁₁ = 1. Rumusnya menjadi:
yᵢ₊₁ = yᵢ + ½·h·(k₁ + k₂), dengan
k₁ = f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = f(xᵢ + h, yᵢ + k₁h)
Cara kerjanya: Metode ini menghitung rata-rata kemiringan di titik awal (xᵢ) dan titik akhir (xᵢ₊₁). Ini menyeimbangkan prediksi yang terlalu rendah atau terlalu tinggi dari Euler.
B. Metode Titik Tengah / Poligon (a₂ = 1)
Di sini kita memilih a₁ = 0 dan p₁ = q₁₁ = ½. Rumusnya menjadi:
yᵢ₊₁ = yᵢ + k₂h
Dimana:
k₁ = f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = f(xᵢ + ½h, yᵢ + ½k₁h)
Cara kerjanya: Metode ini (disebut juga Midpoint Method) memprediksi nilai y di tengah-tengah interval, menghitung gradien di sana, lalu memakai gradien tengah itu untuk melangkah penuh dari awal sampai akhir. Secara visual, ini seringkali lebih akurat mengikuti lengkungan kurva.
C. Metode Ralston (a₂ = ⅔)
Di sini kita memilih a₁ = ⅓ dan p₁ = q₁₁ = ¾. Rumusnya menjadi:
yᵢ₊₁ = yᵢ + (⅓k₁ + ⅔k₂)h
Dimana:
k₁ = f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = f(xᵢ + ¾h, yᵢ + ¾k₁h)
Keunggulannya: Metode Ralston adalah favorit banyak orang karena terbukti secara matematis memberikan batas galat pemotongan (truncation error) yang paling minimal dibandingkan metode RK2 lainnya.
D. Pilih yang Mana?
Metode Runge-Kutta Orde 2 adalah "titik manis" (sweet spot) dalam metode numerik. Ia tidak serumit Orde 4, tapi jauh lebih akurat daripada Euler. Kita bisa memilih variasi mana yang mau dipakai:
• Mau konsep rata-rata sederhana? Pakai Heun.
• Mau evaluasi di tengah interval? Pakai Titik Tengah (Polygon).
• Mau error paling minimum? Pakai Ralston.
Contoh Soal
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan RK Orde-2:
dy/dx = −2x³ + 12x² − 20x + 8,5
dari x = 0 sampai x = 2 dengan menggunakan langkah h = 0,5 dan kondisi awal y(0) = 1.
A. Metode Heun
• y(0,5)
k₁ = −2·0³ + 12·0² − 20·0 + 8,5 = 8,5
k₂ = −2(0 + 0,5)³ + 12(0 + 0,5)² − 20(0 + 0,5) + 8,5 = 1,25
y(0,5) = 1 + ½·(0,5)·(8,5 + 1,25) = 3,4375
• y(1)
k₁ = −2(0,5)³ + 12(0,5)² − 20(0,5) + 8,5 = 1,25
k₂ = −2(0,5 + 0,5)³ + 12(0,5 + 0,5)² − 20(0,5 + 0,5) + 8,5 = −1,5
y(1) = 3,4375 + ½·(0,5)·(1,25 − 1,5) = 3,375
• y(1,5)
k₁ = −2(1)³ + 12(1)² − 20(1) + 8,5 = −1,5
k₂ = −2(1 + 0,5)³ + 12(1 + 0,5)² − 20(1 + 0,5) + 8,5 = −1,25
y(1,5) = 3,375 + ½·(0,5)·(−1,5 − 1,25) = 2,6875
• y(2)
k₁ = −2(1,5)³ + 12(1,5)² − 20(1,5) + 8,5 = −1,25
k₂ = −2(1,5 + 0,5)³ + 12(1,5 + 0,5)² − 20(1,5 + 0,5) + 8,5 = 0,5
y(2) = 2,6875 + ½·(0,5)·(−1,25 + 0,5) = 2,5
B. Metode Poligon
• y(0,5)
k₁ = −2·0³ + 12·0² − 20·0 + 8,5 = 8,5
k₂ = −2(0 + 0,25)³ + 12(0 + 0,25)² − 20(0 + 0,25) + 8,5 = 4,21875
y(0,5) = 1 + (0,5)·(4,21875) = 3,109375
• y(1)
k₁ = −2(0,5)³ + 12(0,5)² − 20(0,5) + 8,5 = 1,25
k₂ = −2(0,5 + 0,25)³ + 12(0,5 + 0,25)² − 20(0,5 + 0,25) + 8,5 = −0,59375
y(1) = 3,109375 + (0,5)·(−0,59375) = 2,8125
• y(1,5)
k₁ = −2(1)³ + 12(1)² − 20(1) + 8,5 = −1,5
k₂ = −2(1 + 0,25)³ + 12(1 + 0,25)² − 20(1 + 0,25) + 8,5 = −1,65625
y(1,5) = 2,8125 + (0,5)·(−1,65625) = 1,984375
• y(2)
k₁ = −2(1,5)³ + 12(1,5)² − 20(1,5) + 8,5 = −1,25
k₂ = −2(1,5 + 0,25)³ + 12(1,5 + 0,25)² − 20(1,5 + 0,25) + 8,5 = −0,46875
y(2) = 1,984375 + (0,5)·(−0,46875) = 1,75
C. Metode Ralston
• y(0,5)
k₁ = −2·0³ + 12·0² − 20·0 + 8,5 = 8,5
k₂ = −2(0 + 0,375)³ + 12(0 + 0,375)² − 20(0 + 0,375) + 8,5 = 2,582031
y(0,5) = 1 + (0,5)·[⅓(8,5) + ⅔(2,582031)] = 3,277344
• y(1)
k₁ = −2(0,5)³ + 12(0,5)² − 20(0,5) + 8,5 = 1,25
k₂ = −2(0,5 + 0,375)³ + 12(0,5 + 0,375)² − 20(0,5 + 0,375) + 8,5 = −1,15234
y(1) = 3,277344 + (0,5)·[⅓(1,25) + ⅔(−1,15234)] = 3,101563
• y(1,5)
k₁ = −2(1)³ + 12(1)² − 20(1) + 8,5 = −1,5
k₂ = −2(1 + 0,375)³ + 12(1 + 0,375)² − 20(1 + 0,375) + 8,5 = −1,51172
y(1,5) = 3,101563 + (0,5)·[⅓(−1,5) + ⅔(−1,51172)] = 2,347656
• y(2)
k₁ = −2(1,5)³ + 12(1,5)² − 20(1,5) + 8,5 = −1,25
k₂ = −2(1,5 + 0,375)³ + 12(1,5 + 0,375)² − 20(1,5 + 0,375) + 8,5 = 0,003906
y(2) = 2,347656 + (0,5)·[⅓(−1,25) + ⅔(0,003906)] = 2,140625
Solusi eksak dari Perdif tersebut adalah y = −0,5x⁴ + 4x³ − 10x² + 8,5x + 1. Berikut ini tabel perbandingan error masing-masing metode:
Komentar
Posting Komentar