Metode Runge-Kutta Orde 4 untuk Perdif Numerik
1. Bentuk Awal
Lihatlah bentuk umum (General Form) dari metode Runge-Kutta 4 tingkat di bawah ini. Ini adalah kerangka dasarnya:
k₁ = f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = f(xᵢ + p₁h, yᵢ + q₁₁k₁h)
k₃ = f(xᵢ + p₂h, yᵢ + q₂₁k₁h + q₂₂k₂h)
k₄ = f(xᵢ + p₃h, yᵢ + q₃₁k₁h + q₃₂k₂h + q₃₃k₃h)
yᵢ₊₁ = yᵢ + h(a₁k₁ + a₂k₂ + a₃k₃ + a₄k₄)
Tantangannya adalah kita tidak tahu nilai dari variabel-variabel ini:
• Bobot rata-rata (a₁, a₂, a₃, a₄)
• Posisi pengambilan sampel x (p₁, p₂, p₃)
• Posisi pengambilan sampel y (q₁₁, q₂₁, q₂₂, q₃₁, q₃₂, q₃₃)
Total ada 13 variabel (koefisien) yang harus kita cari nilainya.
2. Persamaan Syarat
Agar metode ini akurat, hasilnya harus menyamai hasil perhitungan analitik menggunakan Deret Taylor hingga pangkat h⁴ (itulah kenapa disebut Orde 4). Bayangkan Deret Taylor sebagai "kunci jawaban". Kita harus memutar-mutar 13 variabel di atas agar cocok dengan kunci jawaban tersebut. Masalahnya, Deret Taylor untuk fungsi dua variabel sangat rumit karena melibatkan turunan berantai. Setelah para matematikawan (Runge & Kutta) membedahnya, mereka menemukan serangkaian Persamaan Syarat.
A. Syarat Orde 1
Ini berhubungan dengan kemiringan dasar. Kita harus memastikan jumlah total bobot adalah 1, yaitu:
a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 1
B. Syarat Orde 2
Ini berhubungan dengan kelengkungan (kurvatur). Kita mencocokkan istilah yang mengandung h².
a₂p₁ + a₃p₂ + a₄p₃ = ½
C. Syarat Orde 3
Di sini mulai rumit. Turunan ketiga dari fungsi dua variabel memecah menjadi dua bentuk yang berbeda. Kita harus mencocokkan keduanya agar akurat sampai h³.
a₂p₁² + a₃p₂² + a₄p₃² = ⅓
(a₃q₂₂ + a₄q₃₂)p₁ + (a₄q₃₃)p₂ = ⅙
D. Syarat Orde 4
a₂p₁³ + a₃p₂³ + a₄p₃³ = ¼
a₃p₂q₂₂p₁ + a₄p₃(q₃₂p₁ + q₃₃p₂) = ⅛
a₃q₂₂p₁² + a₄(q₃₂p₁² + q₃₃p₂²) = 1/12
a₄q₃₃q₂₂p₁ = 1/24
E. Syarat Konsistensi
Ini memastikan geseran di sumbu x (p) sinkron dengan geseran di sumbu y (q).
p₁ = q₁₁
p₂ = q₂₁ + q₂₂
p₃ = q₃₁ + q₃₂ + q₃₃
Inilah bagian menariknya: Kita punya 13 variabel yang harus dicari, tapi hanya punya 11 persamaan yang mengikat. Artinya ada banyak solusi untuk sistem ini.
3. Range-Kutta 4 Klasik
A. Pemilihan Nilai Klasik
Karena boleh memilih 2 angka dengan bebas, Kutta memilih angka yang paling memudahkan hidup manusia (dan komputer):
• Dia memilih titik sampel tepat di tengah interval (1/2).
• Dia memilih titik sampel terakhir tepat di akhir interval (1).
Dengan menetapkan pilihan tersebut, sisa variabel lainnya otomatis terkunci melalui perhitungan aljabar, menghasilkan nilai-nilai "klasik" berikut:
a₁ = ⅙; a₂ = ⅓; a₃ = ⅓; a₄ = ⅙
p₁ = ½; p₂ = ½; p₃ = 1
q₁₁ = ½; q₂₂ = ½; q₃₃ = 1
q₂₁ = 0; q₃₁ = 0; q₃₂ = 0
B. Rumus
Setelah pemilihan nilai-nilai klasik, berikut ini rumusnya:
k₁ = f(xᵢ, yᵢ)
k₂ = f(xᵢ + ½h, yᵢ + ½hk₁)
k₃ = f(xᵢ + ½h, yᵢ + ½hk₂)
k₄ = f(xᵢ + h, yᵢ + hk₃)
yᵢ₊₁ = yᵢ + h(⅙k₁ + ⅓k₂ + ⅓k₃ + ⅙k₄) = yᵢ + ⅙h(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)
Contoh Soal
Selesaikan persamaan diferensial berikut ini dengan RK Orde-4:
dy/dt = −2ty²
dari t = 0 sampai t = 1 dengan menggunakan langkah h = 0,2 dan kondisi awal y(0) = 1.
• y(0,2)
k₁ = −2(0)(1)² = 0
k₂ = −2(0 + 0,1)[1 + (0,1)(0)]² = −0,2
k₃ = −2(0 + 0,1)[1 + (0,1)(−0,2)]² = −0,19208
k₄ = −2(0 + 0,2)[1 + (0,2)(−0,19208)]² = −0,36986
y(0,2) = 1 + ⅙(0,2)[0 + 2(−0,2) + 2(−0,19208) − 0,36986] = 0,961533
• y(0,4)
k₁ = −2(0,2)(0,961533)² = −0,36982
k₂ = −2(0,2 + 0,1)[0,961533 + (0,1)(−0,36982)]² = −0,51288
k₃ = −2(0,2 + 0,1)[0,961533 + (0,1)(−0,51288)]² = −0,49713
k₄ = −2(0,2 + 0,2)[0,961533 + (0,2)(−0,49713)]² = −0,59458
y(0,4) = 0,961533 + ⅙(0,2)[−0,36982 + 2(−0,51288) + 2(−0,49713) − 0,59458] = 0,862052
• y(0,6)
k₁ = −2(0,4)(0,862052)² = −0,59451
k₂ = −2(0,4 + 0,1)[0,862052 + (0,1)(−0,59451)]² = −0,64417
k₃ = −2(0,4 + 0,1)[0,862052 + (0,1)(−0,64417)]² = −0,63622
k₄ = −2(0,4 + 0,2)[0,862052 + (0,2)(−0,63622)]² = −0,64793
y(0,6) = 0,862052 + ⅙(0,2)[−0,59451 + 2(−0,64417) + 2(−0,63622) − 0,64793] = 0,735278
• y(0,8)
k₁ = −2(0,6)(0,735278)² = −0,64876
k₂ = −2(0,6 + 0,1)[0,735278 + (0,1)(−0,64876)]² = −0,62921
k₃ = −2(0,6 + 0,1)[0,735278 + (0,1)(−0,62921)]² = −0,63289
k₄ = −2(0,6 + 0,2)[0,735278 + (0,2)(−0,63289)]² = −0,59283
y(0,8) = 0,735278 + ⅙(0,2)[−0,64876 + 2(−0,62921) + 2(−0,63289) − 0,59283] = 0,609752
• y(1)
k₁ = −2(0,8)(0,609752)² = −0,59488
k₂ = −2(0,8 + 0,1)[0,609752 + (0,1)(−0,59488)]² = −0,54502
k₃ = −2(0,8 + 0,1)[0,609752 + (0,1)(−0,54502)]² = −0,55494
k₄ = −2(0,8 + 0,2)[0,609752 + (0,2)(−0,55494)]² = −0,49753
y(1) = 0,609752 + ⅙(0,2)[−0,59488 + 2(−0,54502) + 2(−0,55494) − 0,49753] = 0,500007203
Jadi, nilai y(1) adalah 0,500007203.
Perhatikan bahwa solusi eksak dari Perdif ini adalah y = 1/(1 + t²), berikut ini tabel error relatif:
|
t |
y perkiraan |
y eksak |
error |
|
0 |
1 |
1 |
0 % |
|
0,2 |
0,961532749 |
0,961538462 |
0,000594054 % |
|
0,4 |
0,862052422 |
0,862068966 |
0,001919093 % |
|
0,6 |
0,735278343 |
0,735294118 |
0,002145389 % |
|
0,8 |
0,609751833 |
0,609756098 |
0,000699346 % |
|
1 |
0,500007203 |
0,5 |
0,001440553 % |
Komentar
Posting Komentar