Seputar Teorema Nilai Rata-Rata

1. Teorema Ekstrim Dalam

A. Teorema Ekstrim Dalam

Misalkan c adalah titik interior dari interval I dimana f : I → ℝ memiliki ekstremum relatif. Jika turunan dari f di c ada, maka f'(c) = 0.

Bukti:

• f memiliki maksimum relatif di c

Jika f'(c) > 0, maka terdapat lingkungan V ⊆ I dari c sedemikian sehingga

[f(x) – f(c)]/(x – c) > 0 untuk x ∈ V, x ≠ c.

Jika x ∈ V dan x > c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c)·[(f(x) – f(c)) / (x – c)] > 0 ⇔ f(x) > f(c).

Namun hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f memiliki maksimum relatif di c.

Dengan demikian, kita tidak mungkin memiliki f'(c) > 0.

Sedangkan jika f'(c) < 0, maka terdapat lingkungan V ⊆ I dari c sedemikian sehingga

[f(x) – f(c)]/(x – c) < 0 untuk x ∈ V, x ≠ c.

Jika x ∈ V dan x < c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c)·[(f(x) – f(c)) / (x – c)] > 0 ⇔ f(x) > f(c).

Namun hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f memiliki maksimum relatif di c.

Oleh karena itu, kita harus memiliki f'(c) = 0.

• f memiliki minimum relatif di c

Jika f'(c) > 0, maka terdapat lingkungan V ⊆ I dari c sedemikian sehingga

[f(x) – f(c)]/(x – c) > 0 untuk x ∈ V, x ≠ c.

Jika x ∈ V dan x < c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c)·[(f(x) – f(c)) / (x – c)] < 0 ⇔ f(x) < f(c).

Namun hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f memiliki maksimum relatif di c.

Dengan demikian, kita tidak mungkin memiliki f'(c) > 0.

Sedangkan jika f'(c) < 0, maka terdapat lingkungan V ⊆ I dari c sedemikian sehingga

[f(x) – f(c)]/(x – c) < 0 untuk x ∈ V, x ≠ c.

Jika x ∈ V dan x > c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c)·[(f(x) – f(c)) / (x – c)] < 0 ⇔ f(x) < f(c).

Namun hal ini bertentangan dengan hipotesis bahwa f memiliki maksimum relatif di c.

Oleh karena itu, kita harus memiliki f'(c) = 0.

Q.E.D.

B. Akibat (Corollary)

Misalkan f : I → ℝ kontinu pada suatu interval I dan andaikan bahwa f memiliki ekstremum relatif pada titik interior c dari I. Maka turunan dari f di c mungkin tidak ada, atau bernilai sama dengan nol.

Catat bahwa:

f(x) = |x| pada I = [–1, 1], maka f memiliki minimum interior pada x = 0; namun, turunan dari f tidak ada pada x = 0.

2. Teorema Nilai Rata-Rata

A. Teorema Rolle

Misal f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], bahwa turunan f' ada pada setiap titik di interval terbuka (a, b), dan bahwa f(a) = f(b) = 0. Maka terdapat setidaknya satu titik c dalam (a, b) sedemikian sehingga f'(c) = 0.

Bukti:

Jika f bernilai nol secara identik pada I, maka sembarang c dalam (a, b) akan memenuhi kesimpulan teorema tersebut. Oleh karena itu, kita andaikan bahwa f tidak bernilai nol secara identik; dengan mengganti f dengan –f jika perlu, kita dapat mengandaikan bahwa f memiliki beberapa nilai positif. Berdasarkan Teorema Maksimum-Minimum, fungsi f mencapai nilai sup{f(x) : x ∈ I} > 0 pada suatu titik c di I. Karena f(a) = f(b) = 0, maka titik c harus terletak dalam (a, b); oleh karena itu f'(c) ada.

Karena f memiliki maksimum relatif di c, kita menyimpulkan dari Teorema Ekstrim Interior bahwa f'(c) = 0.

Q.E.D.

Teorema ini secara visual menunjukkan bahwa jika sebuah grafik fungsi mulai dan berakhir di ketinggian yang sama (dalam hal ini nol), maka pasti ada setidaknya satu titik puncak atau lembah di antaranya di mana garis singgungnya mendatar.

B. Teorema Nilai Rata-Rata

Misal f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], dan f memiliki turunan pada interval terbuka (a, b). Maka terdapat setidaknya satu titik c dalam (a, b) sedemikian sehingga:

f(b) – f(a) = f'(c)·(b – a).

Bukti:

Pertimbangkan fungsi φ yang didefinisikan pada I melalui:

φ(x) = f(x) – f(a) – [(f(b) – f(a)) / (b – a)] · (x – a).

[Fungsi φ hanyalah selisih antara f dan fungsi yang grafiknya adalah segmen garis yang menghubungkan titik (a, f(a)) dan (b, f(b))].

Hipotesis Teorema Rolle dipenuhi oleh φ karena φ kontinu pada [a, b], terdiferensialkan pada (a, b), dan φ(a) = φ(b) = 0. Oleh karena itu, terdapat suatu titik c dalam (a, b) sedemikian sehingga:

0 = φ'(c) = f'(c) – [(f(b) – f(a)) / (b – a)].

Sehingga, f(b) – f(a) = f'(c)·(b – a). Q.E.D.

Catatan:

Pandangan geometris dari Teorema Nilai Rata-rata adalah bahwa terdapat suatu titik pada kurva y = f(x) di mana garis singgungnya sejajar dengan ruas garis yang melalui titik (a, f(a)) dan (b, f(b)). Meskipun menggambar diagram sangat membantu untuk mengingat pernyataan teorema ini, hal tersebut cenderung menunjukkan bahwa kepentingannya bersifat geometris, yang mana sebenarnya cukup menyesatkan. Faktanya, Teorema Nilai Rata-rata adalah "serigala berbulu domba" dan merupakan Teorema Fundamental Kalkulus Diferensial.

C. Kekonstanan Fungsi yang Turunannya Selalu Nol

Misalkan f kontinu pada interval tertutup I = [a, b], f terdiferensialkan pada interval terbuka (a, b), dan f′(x) = 0 untuk x ∈ (a, b). Maka f konstan pada I.

Bukti:

Kita akan menunjukkan bahwa f(x) = f(a) untuk semua x ∈ I. Memang, jika x ∈ I, x > a, diberikan, kita menerapkan Teorema Nilai Rata-rata pada f di interval tertutup [a, x]. Kita memperoleh sebuah titik c (bergantung pada x) di antara a dan x sedemikian sehingga f(x) – f(a) = f′(c)·(x – a).

Karena f′(c) = 0 (berdasarkan hipotesis), kita menyimpulkan bahwa f(x) – f(a) = 0. Oleh karena itu, f(x) = f(a) untuk setiap x ∈ I. Q.E.D.

D. Akibat: Fungsi-Fungsi yang Turunannya Sama Hanya Berbeda Konstanta

Misalkan f dan g kontinu pada I = [a, b], keduanya terdiferensialkan pada (a, b), dan f′(x) = g′(x) untuk semua x ∈ (a, b). Maka terdapat suatu konstanta C sedemikian sehingga f = g + C pada I.

3. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

A. Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Misal didefinisikan fungsi f : I → ℝ.

Fungsi f dikatakan naik pada I jika (∀x₁, x₂ ∈ I). x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

Fungsi f dikatakan turun pada I jika (∀x₁, x₂ ∈ I). x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

B. Hubungan Pergerakan Grafik Fungsi dengan Turunannya

Misalkan f : I → ℝ terturunkan (diferensiabel) pada interval I. Maka:

(a) f naik pada I jika dan hanya jika f'(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ I.

(b) f turun pada I jika dan hanya jika f'(x) ≤ 0 untuk semua x ∈ I.

Bukti:

(a) Misalkan f'(x) ≥ 0 untuk semua x ∈ I. Jika x₁, x₂ di I memenuhi x₁ < x₂, maka kita menerapkan Teorema Nilai Rata-rata pada f di interval tertutup J = [x₁, x₂] untuk memperoleh titik c dalam (x₁, x₂) sedemikian sehingga f(x₂) – f(x₁) = f'(c)(x₂ – x₁).

Karena f'(c) ≥ 0 dan x₂ – x₁ > 0, maka f(x₂) – f(x₁) ≥ 0. Oleh karena itu, f(x₁) ≤ f(x₂) dan, karena x₁, x₂ adalah titik sembarang di I, kita menyimpulkan bahwa f naik pada I.

Untuk pernyataan sebaliknya (konvers), kita misalkan f diferensiabel dan naik pada I. Jadi, untuk setiap titik x ≠ c di I, kita mempunyai (f(x) – f(c))/(x – c) ≥ 0. Maka, berdasarkan Teorema Pembandingan Limit kita menyimpulkan bahwa f'(c) ≥ 0.

(b) Misalkan f'(x) ≤ 0 untuk semua x ∈ I. Jika x₁, x₂ di I memenuhi x₁ < x₂, maka kita menerapkan Teorema Nilai Rata-rata pada f di interval tertutup J = [x₁, x₂] untuk memperoleh titik c dalam (x₁, x₂) sedemikian sehingga f(x₂) – f(x₁) = f'(c)(x₂ – x₁).

Karena f'(c) ≤ 0 dan x₂ – x₁ > 0, maka f(x₂) – f(x₁) ≤ 0. Oleh karena itu, f(x₁) ≥ f(x₂) dan, karena x₁, x₂ adalah titik sembarang di I, kita menyimpulkan bahwa f turun pada I.

Untuk pernyataan sebaliknya (konvers), kita misalkan f diferensiabel dan turun pada I. Jadi, untuk setiap titik x ≠ c di I, kita mempunyai (f(x) – f(c))/(x – c) ≤ 0. Maka, berdasarkan Teorema Pembandingan Limit kita menyimpulkan bahwa f'(c) ≤ 0.

Q.E.D.

Tambahan:

Sebuah fungsi f dikatakan naik secara tegas (strictly increasing) pada suatu interval I jika untuk setiap titik x₁, x₂ di I sedemikian sehingga x₁ < x₂, kita mempunyai f(x₁) < f(x₂). Argumen yang sejalan dengan bukti teorema ini dapat dibuat untuk menunjukkan bahwa fungsi yang memiliki turunan positif secara tegas pada suatu interval akan naik secara tegas di sana.

Namun, pernyataan sebaliknya tidaklah benar, karena fungsi diferensiabel yang naik secara tegas mungkin memiliki turunan yang bernilai nol pada titik-titik tertentu. Sebagai contoh, fungsi f : ℝ → ℝ yang didefinisikan oleh f(x) = x³ naik secara tegas pada ℝ, tetapi f'(0) = 0. Situasi untuk fungsi yang turun secara tegas adalah serupa.

Catatan:

Adalah masuk akal untuk mendefinisikan suatu fungsi naik pada suatu titik jika terdapat lingkungan dari titik tersebut di mana fungsinya naik. Orang mungkin mengira bahwa, jika turunannya positif secara tegas pada suatu titik, maka fungsi tersebut naik pada titik tersebut. Namun, anggapan ini salah; memang, fungsi terturunkan yang didefinisikan oleh:

adalah sedemikian sehingga f'(0) = 1, namun f tidak naik di lingkungan mana pun dari x = 0, karena selalu terjadi osilasi di sekitar 0.

C. Uji Turunan Pertama untuk Ekstremum

Misalkan f kontinu pada interval I = [a, b] dan misalkan c adalah titik interior dari I. Asumsikan bahwa f diferensiabel pada (a, c) dan (c, b). Maka:

(a) Jika terdapat lingkungan (c – δ, c + δ) ⊆ I sedemikian sehingga f'(x) ≥ 0 untuk c – δ < x < c dan f'(x) ≤ 0 untuk c < x < c + δ, maka f memiliki maksimum relatif di c.

(b) Jika terdapat lingkungan (c – δ, c + δ) ⊆ I sedemikian sehingga f'(x) ≤ 0 untuk c – δ < x < c dan f'(x) ≥ 0 untuk c < x < c + δ, maka f memiliki minimum relatif di c.

Bukti:

(a) Jika x ∈ (c – δ, c), maka berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata terdapat suatu titik c* ∈ (x, c) sedemikian sehingga f(c) – f(x) = (c – x)f'(c*). Karena f'(c*) ≥ 0 kita menyimpulkan bahwa f(x) ≤ f(c) untuk x ∈ (c – δ, c). Dengan cara yang serupa, diperoleh bahwa f(x) ≤ f(c) untuk x ∈ (c, c + δ). Oleh karena itu, f(x) ≤ f(c) untuk semua x ∈ (c – δ, c + δ) sehingga f memiliki maksimum relatif di c.

(b) Jika x ∈ (c – δ, c), maka berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata terdapat suatu titik c* ∈ (x, c) sedemikian sehingga f(c) – f(x) = (c – x)f'(c*). Karena f'(c*) ≤ 0 kita menyimpulkan bahwa f(x) ≥ f(c) untuk x ∈ (c – δ, c). Dengan cara yang serupa, diperoleh bahwa f(x) ≥ f(c) untuk x ∈ (c, c + δ). Oleh karena itu, f(x) ≥ f(c) untuk semua x ∈ (c – δ, c + δ) sehingga f memiliki minimum relatif di c.

4. Sifat Nilai Antara dari Turunan

A. Lemma Sifat Nilai Antara dari Turunan

Misalkan I ⊆ ℝ adalah sebuah interval, misalkan f : I → ℝ, misalkan c ∈ I, dan asumsikan bahwa f memiliki turunan di c. Maka:

(a) Jika f'(c) > 0, maka ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x ∈ I sedemikian sehingga c < x < c + δ.

(b) Jika f'(c) < 0, maka ada bilangan δ > 0 sedemikian sehingga f(x) > f(c) untuk x ∈ I sedemikian sehingga c – δ < x < c.

Bukti:

(a) Karena f'(c) > 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga jika x ∈ I dan 0 < |x – c| < δ, maka

(f(x) – f(c)) / (x – c) > 0.

Jika x ∈ I juga memenuhi x > c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c) · (f(x) – f(c)) / (x – c) > 0.

Oleh karena itu, jika x ∈ I dan c < x < c + δ, maka f(x) > f(c).

(b) Karena f'(c) < 0, maka terdapat bilangan δ > 0 sedemikian sehingga jika x ∈ I dan 0 < |x – c| < δ, maka

(f(x) – f(c)) / (x – c) < 0.

Jika x ∈ I juga memenuhi x < c, maka kita memiliki

f(x) – f(c) = (x – c) · (f(x) – f(c)) / (x – c) > 0.

Oleh karena itu, jika x ∈ I dan c < x < c + δ, maka f(x) > f(c).

B. Teorema Darboux

Jika f dapat diturunkan pada I = [a, b] dan jika k adalah bilangan di antara f'(a) dan f'(b), maka terdapat setidaknya satu titik c dalam (a, b) sedemikian sehingga f'(c) = k.

Bukti:

Misalkan bahwa f'(a) < k < f'(b). Kita definisikan g pada I dengan g(x) = kx – f(x) untuk x ∈ I. Karena g kontinu, ia mencapai nilai maksimum pada I. Karena g'(a) = k – f'(a) > 0, maka berdasarkan Lemma Sifat Nilai Antara dari Turunan (a) nilai maksimum dari g tidak terjadi di x = a. Serupa dengan itu, karena g'(b) = k – f'(b) < 0, maka berdasarkan Lemma Sifat Nilai Antara dari Turunan (b) nilai maksimum tersebut tidak terjadi di x = b. Oleh karena itu, g mencapai nilai maksimumnya di suatu titik c dalam (a, b). Kemudian dari Teorema Ekstrim Dalam kita mendapatkan 0 = g'(c) = k – f'(c). Maka, f'(c) = k. Q.E.D.

Contoh Soal

1. Misal a > b > 0 dan bilangan asli n > 1. Buktikan bahwa a^1/n – b^1/n < (a – b)^1/n.

a > b > 0, berarti a/b > 1.

Misal x = a/b > 1 dan f(x) = x^1/n – (x – 1)^1/n.

f(1) = 1^1/n – (1 – 1)^1/n = 1 – 0 = 1.

Perhatikan bahwa 0 < 1 < n ⇔ 0 < 1/n < 1 ⇔ 1/n – 1 < 0 dan 0 < x – 1 < x, sehingga

Dari bentuk terakhir diperoleh f'(x) < 0.
Karena f(1) = 1 dan f turun untuk x > 1, maka (∀x > 1). f(x) < 1.

x = a/b > 1, uraikan f(x) = f(a/b) = (a/b)^1/n – (a/b – 1)^1/n = a^1/n/b^1/n – (a – b)^1/n/b^1/n < 1

⇔ a^1/n/b^1/n < (a – b)^1/n/b^1/n + 1 ⇔ a^1/n < (a – b)^1/n + b^1/n ⇔ a^1/n – b^1/n < (a – b)^1/n.

2. Buktikan bahwa 0 ≤ p < 1; a > 0; b > 0 ⇒ (a + b)ᵖ ≤ aᵖ + bᵖ.

Misal x = a/b > 0 dan f(x) = 1 + xᵖ – (1 + x)ᵖ.

f(0) = 1 + 0ᵖ – (1 + 0)ᵖ = 0.

f'(x) = pxᵖ⁻¹ – p(1 + x)ᵖ⁻¹ = p[xᵖ⁻¹ – (1 + x)ᵖ⁻¹]

Perhatikan 0 ≤ p < 1 ⇔ p ≥ 0 ∧ p – 1 < 0; dan 0 < x < 1 + x, sehingga xᵖ⁻¹ > (1 + x)ᵖ⁻¹.

Diperoleh f'(x) = p[xᵖ⁻¹ – (1 + x)ᵖ⁻¹] ≥ 0, sehingga f naik untuk x > 0.

Karena f(0) = 0 dan f naik untuk setiap x > 0, maka (∀x > 0). f(x) ≥ 0.

x = a/b > 0 maka f(x) = f(a/b) = 1 + (a/b)ᵖ – (1 + a/b)ᵖ ≥ 0 ⇔ 1 + (a/b)ᵖ ≥ (1 + a/b)ᵖ

⇔ 1 + aᵖ/bᵖ ≥ (a + b)ᵖ/bᵖ ⇔ aᵖ + bᵖ ≥ (a + b)ᵖ ⇔ (a + b)ᵖ ≤ aᵖ + bᵖ.

3. Fungsi eksponensial f(x) = eˣ memiliki turunan f'(x) = eˣ untuk semua x ∈ ℝ. Dengan demikian, f'(x) > 1 untuk x > 0, dan f'(x) < 1 untuk x < 0. Dari hubungan ini, kita akan menurunkan ketidaksamaan

eˣ ≥ 1 + x untuk x ∈ ℝ,

dengan kesamaan terjadi jika dan hanya jika x = 0.

Jika x = 0, kita mendapatkan kesamaan dengan kedua ruas bernilai 1. Jika x > 0, kita menerapkan Teorema Nilai Rata-rata (Mean Value Theorem) pada fungsi f dalam interval [0, x]. Maka untuk suatu c dengan 0 < c < x, kita memiliki

eˣ – e⁰ = eᶜ(x – 0).

Karena e⁰ = 1 dan eᶜ > 1, ini menjadi eˣ – 1 > x sehingga kita memperoleh eˣ > 1 + x untuk x > 0. Argumen serupa menetapkan ketidaksamaan ketat yang sama untuk x < 0. Dengan demikian, ketidaksamaan eˣ ≥ 1 + x berlaku untuk semua x, dan kesamaan hanya terjadi jika x = 0.

4. Misalkan α adalah bilangan riil yang memenuhi 0 < α < 1 dan misalkan g(x) = αx – xᵅ untuk x ≥ 0. Maka g'(x) = α(1 – xᵅ⁻¹), sehingga g'(x) < 0 untuk 0 < x < 1 dan g'(x) > 0 untuk x > 1. Konsekuensinya, jika x ≥ 0, maka g(x) ≥ g(1) dan g(x) = g(1) jika dan hanya jika x = 1. Oleh karena itu, jika x ≥ 0 dan 0 < α < 1, maka kita memiliki

xᵅ ≤ αx + (1 – α).

Jika a > 0 dan b > 0 dan jika kita memisalkan x = a/b dan mengalikannya dengan b, kita mendapatkan ketidaksamaan

aᵅb¹⁻ᵅ ≤ αa + (1 – α)b,

di mana kesamaan berlaku jika dan hanya jika a = b.