Teorema Cauchy-Goursat

Pernahkah Sixtyfourians membayangkan bahwa dalam analisis kompleks, integrasi fungsi yang rumit di sepanjang lintasan tertutup bisa menghasilkan nilai nol begitu saja? Selamat datang di dunia Teorema Cauchy-Goursat.

1. Teorema Cauchy

Sebelum Goursat masuk, Augustin-Louis Cauchy sudah merumuskan ide dasarnya. Teorema Cauchy menyatakan:

Jika fungsi f analitik dan f' kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka:

2. Menghapus Syarat Kontinu

Di sinilah letak kejeniusan Goursat. Ia menyadari bahwa syarat "f' harus kontinu" sebenarnya tidak diperlukan. Teorema Cauchy-Goursat yang lebih kuat berbunyi:

Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, maka:

Tanpa perlu memeriksa apakah turunannya kontinu atau tidak, selama fungsinya analitik, integralnya menghasilkan nol.

3. Menangani Daerah "Berlubang"

Dunia tidak selalu mulus tanpa lubang, kita membedakan dua jenis daerah:

• Terhubung Tunggal (Simply Connected): Daerah tanpa lubang (seperti cakram penuh).

• Terhubung Ganda (Multiply Connected): Daerah yang memiliki lubang (seperti cincin donat atau annulus).

Teorema Cauchy-Goursat dapat diperluas untuk daerah berlubang ini, sebagai berikut:

Jika ada lintasan luar C dan beberapa lintasan dalam C₁, C₂, ..., Cₙ yang tidak saling berpotongan, dan fungsi f analitik di daerah antara lintasan-lintasan tersebut, maka:

Logikanya:

Kita bisa membuat "jembatan" atau garis patah (Lⱼ) yang menghubungkan lintasan luar ke lintasan dalam. Ini mengubah daerah berlubang menjadi daerah terhubung tunggal, di mana total integralnya kembali menjadi nol.

4. Deformasi Lintasan

Salah satu konsekuensi dari perluasan ini adalah prinsip deformasi lintasan. Jika C₁ adalah lintasan besar dan C₂ adalah lintasan kecil di dalamnya, dan fungsi f analitik di antara kedua lintasan tersebut, maka nilai integralnya sama:

Contoh Soal

Jika f(z) = 1/3z dan C adalah lintasan positif yang berbentuk bujur sangkar dengan titik-titik sudut 1 + i, -1 + i, -1 - i, dan 1 - i, maka hitunglah integral fungsi f di sepanjang lintasan!

Fungsi yang akan diintegralkan adalah f(z) = 1/3z.

Fungsi ini analitik di seluruh bidang kompleks kecuali di titik 0 (titik asal) di mana penyebutnya bernilai nol.

Lintasan bujur sangkar C mengelilingi titik singular 0. Menghitung integral langsung pada sisi-sisi bujur sangkar cukup rumit karena persamaan parameternya terputus-putus (harus menghitung 4 integral garis terpisah). Sebagai gantinya, kita buat lintasan baru Γ berupa lingkaran yang berpusat di 0 dengan jari-jari r (misalnya r = ½) yang berada sepenuhnya di dalam bujur sangkar tersebut.

Karena f(z) = 1/3z analitik di daerah antaran (annulus) yang dibatasi oleh bujur sangkar C dan lingkaran Γ, maka berdasarkan Perluasan Teorema Cauchy-Goursat, nilai integral pada kedua lintasan adalah sama:

Sekarang kita cukup menghitung integral pada lingkaran Γ (|z| = r) dengan arah positif.

• Parameterisasi: z = re^iθ untuk 0 ≤ θ ≤ 2π.

• Diferensial: dz = ire^iθ dθ = iz dθ.

Substitusikan ke dalam integral:

Jadi, hasil integralnya adalah ⅔iπ.