Teorema Integral Kompleks

1. Teorema Morera: Kebalikan dari Teorema Cauchy

Teorema Cauchy mengatakan bahwa jika fungsi f analitik, maka integral tertutupnya adalah nol. Nah, Teorema Morera adalah kebalikannya. Teorema ini sangat berguna untuk membuktikan keanalitikan suatu fungsi hanya dengan melihat sifat integralnya.

Bunyi Teorema:

"Jika f didefinisikan dan kontinu pada domain terhubung tunggal D, dan untuk setiap lintasan tertutup tunggal C di dalam D berlaku

Maka f analitik pada D."

Pembuktian teorema ini bergantung pada pembentukan fungsi primitif

Karena integralnya tidak bergantung pada lintasan, maka F terdiferensial dan F'(z) = f(z). Karena turunan fungsi analitik (F) juga analitik, maka f terbukti analitik.

2. Teorema Liouville: Fungsi Utuh yang Terbatas

Mungkin ada yang bertanya, bisakah sebuah fungsi analitik di seluruh bidang kompleks (fungsi utuh) memiliki nilai yang terbatas (tidak menuju tak hingga)? Jawabannya ternyata: Tidak bisa, kecuali fungsi itu adalah konstanta.

A. Teorema Liouville

Bunyi Teorema:

"Jika f adalah fungsi yang analitik dan terbatas di seluruh bidang kompleks, maka f haruslah suatu konstanta."

Mengapa ini penting?

Fungsi seperti e^z, sin(z), atau cos(z) adalah fungsi utuh, tetapi mereka tidak terbatas (nilainya bisa sangat besar). Jika ada fungsi yang mulus di mana-mana tapi nilainya tertahan di batas tertentu, fungsi itu pasti tidak bergerak alias konstan.

B. Teorema Dasar Aljabar

Berkat Teorema Liouville, kita dapat membuktikan Teorema Dasar Aljabar dengan sangat elegan. Bunyinya sebagai berikut:

"Setiap sukubanyak (polinomial) P dengan derajat n ≥ 1 paling sedikit mempunyai satu akar z₀ sehingga P(z₀) = 0."

Bukti:

Jika P tidak punya akar, maka 1/P akan menjadi fungsi utuh yang terbatas. Menurut Liouville, itu berarti 1/P konstan, yang mana mustahil untuk polinomial derajat n ≥ 1.

3. Teorema Modulus Maksimum

Bayangkan sebuah piring panas. Titik terpanasnya pasti ada di pinggiran piring, bukan di tengah-tengah (kecuali suhunya sama semua). Analogi ini mirip dengan Teorema Modulus Maksimum untuk nilai mutlak fungsi analitik.

A. Prinsip Utama

Jika f analitik dan tidak konstan pada suatu domain D, maka nilai mutlak |f(z)| tidak mungkin mencapai maksimum di titik interior (titik dalam) domain tersebut.

B. Teorema Modulus Maksimum

"Jika f analitik di dalam dan pada lintasan tertutup tunggal C, dan f tidak konstan, maka |f(z)| mencapai nilai maksimumnya di suatu titik pada perbatasan C, bukan di titik interior."

Jadi, jika Sixtyfourians ingin mencari nilai terbesar dari |f(z)| pada suatu daerah tertutup, cukup cari di sepanjang garis batasnya saja.

4. Ketaksamaan Cauchy

A. Ketaksamaan Cauchy

Kita punya alat untuk menaksir seberapa besar nilai turunan suatu fungsi. Ini disebut Ketaksamaan Cauchy (Cauchy's Inequality).

"Jika f analitik di dalam dan pada lingkaran C dengan jari-jari r berpusat di z₀, dan kita tahu bahwa nilai maksimum |f(z)| pada lingkaran itu adalah M, maka berlaku hubungan berikut:

Rumus ini bisa digunakan sebagai cara alternatif untuk membuktikan Teorema Liouville.

B. Penggunaan Ketaksamaan Cauchy untuk Membuktikan Teorema Liouville

Misalkan f adalah fungsi yang analitik di mana-mana (bisa dibuat lingkaran sebesar apa pun) dan terbatas. Artinya, ada bilangan M sehingga |f(z)| ≤ M untuk semua z.

Menurut Ketaksamaan Cauchy, untuk sebarang titik z₀ dan sembarang jari-jari r, berlaku:

|f'(z₀)| ≤ M/r

Karena f analitik di seluruh bidang kompleks, kita bebas memilih r sebesar apa pun. Mari kita buat r mendekati tak hingga (r → ∞), akibatnya M/r akan mendekati 0.

Karena |f'(z₀)| selalu lebih kecil atau sama dengan M/r, dan M/r menuju 0, maka satu-satunya nilai yang mungkin untuk |f'(z₀)| adalah 0. Jika turunan suatu fungsi adalah 0 di semua titik (f'(z) = 0), itu berarti fungsi tersebut tidak berubah alias konstan.