Turunan dan Integral Tentu Fungsi Bernilai Kompleks dari Variabel Riil

1. Fungsi Bernilai Kompleks dari Variabel Riil

A. Definisi

Untuk mengenalkan fungsi bernilai kompleks f(t), kita meninjau fungsi dari variabel riil t. Kita menuliskannya sebagai:

f(t) = u(t) + iv(t)

dimana fungsi u, v adalah fungsi bernilai riil dari t pada interval tertentu, misal a ≤ t ≤ b.

B. Turunan

Turunan f'(t) atau didefinisikan sebagai:

f'(t) = u'(t) + iv'(t)

asalkan u' dan v' ada. Aturan rantai dan aturan perkalian dasar kalkulus berlaku, misalnya untuk konstanta kompleks c:

C. Kegagalan Teorema Nilai Rata-Rata
Meskipun f(t) memiliki turunan, Teorema Nilai Rata-Rata (Mean Value Theorem) kalkulus riil tidak berlaku untuk fungsi bernilai kompleks. Yakni, tidak selalu terdapat c di antara a < t < b sehingga

Counterexample: Tinjau fungsi f(t) = exp(it) pada interval 0 ≤ t ≤ 2π.
• Nilai fungsi di ujung interval: f(2π) – f(0) = exp(2iπ) – exp(0) = 1 – 1 = 0

• Turunan fungsi: f'(t) = i·exp(it)

• Nilai mutlak turunan: |f'(t)| = |i·exp(it)| = 1

Ini berarti f'(t) tidak pernah bernilai 0 di titik manapun dalam interval tersebut, padahal

2. Integral Tentu

A. Definisi

Integral tentu dari fungsi kompleks f(t) pada interval a ≤ t ≤ b didefinisikan berdasarkan bagian riil dan imajinernya:

Eksistensi integral ini dijamin jika fungsi komponen u dan v kontinu sepotong-sepotong (piecewise continuous) pada [a, b]. Ini berarti fungsi tersebut kontinu di mana-mana kecuali pada sejumlah berhingga titik, dan di titik-titik tersebut limit satu sisinya ada.
B. Bagian Riil dan Imajiner

C. Konstanta

Untuk konstanta kompleks k, berlaku

D. Pemisahan Interval

E. Pembalikan Batas

F. Teorema Dasar Kalkulus (Fundamental Theorem of Calculus)

Teorema dasar kalkulus dapat diperluas ke fungsi kompleks. Jika F(t) = U(t) + iV(t) adalah anti-turunan dari f(t) = u(t) + iv(t) (yaitu F'(t) = f(t)), maka:

G. Ketaksamaan Nilai Mutlak Integral
Salah satu sifat terpenting dalam analisis kompleks adalah ketaksamaan yang menghubungkan nilai mutlak dari integral dengan integral dari nilai mutlaknya:

Contoh Soal