Turunan Fungsi Kompleks dan Persamaan Cauchy Riemann

1. Konsep Dasar Turunan

A. Definisi

Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan z₀ adalah suatu titik di dalam D. Turunan atau derivatif dari fungsi f di titik z₀, ditulis f'(z₀), didefinisikan melalui nilai limit berikut jika nilai tersebut ada:

Kerap kali, selisih f(z) – f(z₀) dinyatakan dengan Δf dan z – z₀ dengan Δz, sehingga turunan dapat dituliskan sebagai:

Jika nilai limit ini ada, maka fungsi f dikatakan terdiferensial (dapat diturunkan) di z₀.

Contoh: Misal f(z) = z², tentukan f'(z).

B. Kekontinuan Fungsi Diferensiabel

Jika f diferensiabel di suatu titik, maka f kontinu di titik tersebut.

Bukti:

Misal f diferensiabel di z₀, maka limit berikut ada, misalkan L:

sehingga

Jadi, f kontinu di titik tersebut.
Catatan:

Teorema ini tidak berlaku kebalikan, dimana fungsi kontinu bisa saja tidak diferensiabel, contohnya fungsi f dengan f(z) = |z|² di i, perhatikan f'(i):

Catatan: Penggeseran ke (0, 0) untuk mempermudah perhitungan.

Pilih pendekatan dari sumbu x:

Pilih pendekatan dari garis y = x:

Jadi, terdapat 2 jalur berbeda yang menghasilkan limit berbeda, sehingga limitnya tidak ada. Akibatnya f tidak dapat diturunkan di i.

2. Persamaan Cauchy-Riemann (Koordinat Cartesius)

A. Pengecekan Persamaan Cauchy-Riemann

Jika f'(z₀) ada, maka turunan parsial pertama dari u dan v harus ada di (x₀, y₀) dan memenuhi sepasang persamaan C-R:

∂u/∂x = ∂v/∂y dan ∂u/∂y = –∂v/∂x

Kontraposisi dari teorema ini sering dipakai untuk mengecek apakah suatu fungsi tidak diferensiabel, dimana fungsi yang tidak memenuhi PCR maka tidak diferensiabel.

Catatan: Teorema ini tidak berlaku kebalikan, dimana fungsi yang memenuhi PCR bisa jadi tidak diferensiabel.

B. Syarat Tambahan untuk Diferensiabilitas

Misal fungsi f dengan f = u + iv memenuhi PCR di z₀ = x₀ + iy₀, dan memenuhi:

(i) Turunan parsial ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y terdefinisi pada suatu kitar dari z₀.

(ii) Turunan-turunan parsial tersebut kontinu di titik (x₀, y₀).

Maka f diferensiabel di z₀ dengan f'(z₀) = ∂u/∂x + i·(∂v/∂x)

Contoh:

Buktikan bahwa f(z) = eˣ[cos(y) + i·sin(y)] diferensiabel pada ℂ.

Perhatikan f(z) = eˣ[cos(y) + i·sin(y)] = eˣ·cos(y) + i·eˣ·sin(y)

• Cek PCR

u(x, y) = eˣ·cos(y), v(x, y) = eˣ·sin(y)

∂u/∂x = eˣ·cos(y) = ∂v/∂y

∂u/∂y = –eˣ·sin(y) = –∂v/∂x

• Cek keterdefinisian pada kitar

∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y selalu terdefinisi di sebarang titik pada ℂ, sehingga juga terdefinisi pada kitarnya.

• Cek kekontinuan

∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y selalu kontinu di sebarang titik pada ℂ.

Fungsi f memenuhi PCR, turunan-turunan parsialnya terdefinisi pada kitar, dan kontinu pada ℂ, sehingga f diferensiabel pada ℂ.

3. Teorema Nilai Rata-Rata

Diberikan daerah D dan penggalan garis L yang menghubungkan titik (a, b) dan (a + h, b + k). Jika u(x, y) kontinu dan terdiferensial pada titik-titik di L, maka terdapat bilangan θ (0 < θ < 1) sehingga:

u(a + h, b + k) – u(a, b) = h·u_x(a + θh, b + θk) + k·u_y(a + θh, b + θk).

4. Persamaan Cauchy-Riemann (Koordinat Polar)

A. Transformasi Koordinat

Untuk titik z₀ ≠ 0, kita menggunakan transformasi koordinat dari Kartesius ke Polar:

x = r·cos(θ); y = r·sin(θ); z = r·[cos(θ) + i·sin(θ)] = r·exp(iθ)

Turunan parsial variabel terhadap r dan θ adalah:

∂x/∂r = cos(θ); ∂y/∂r = sin(θ)

∂x/∂θ = –r·sin(θ); ∂y/∂θ = r·cos(θ)

Dengan aturan rantai diperoleh turunan parsial berikut:

B. Persamaan Cauchy-Riemann untuk Koordinat Polar

Ingat kembali PCR untuk koordinat Kartesius:

∂u/∂x = ∂v/∂y dan ∂u/∂y = –∂v/∂x

Masukkan ke rumus aturan rantai dari poin sebelumnya:

Jadi, PCR untuk koordinat polar adalah:

∂u/∂θ = –r·(∂v/∂r); ∂v/∂θ = r·(∂u/∂r)

C. Syarat Tambahan untuk Diferensiabilitas

Misal fungsi f dengan f = u + iv memenuhi PCR di z₀ = r₀·exp(iθ₀), dan memenuhi:

(i) Turunan parsial ∂u/∂r, ∂u/∂θ, ∂v/∂r, ∂v/∂θ terdefinisi pada suatu kitar dari z₀.

(ii) Turunan-turunan parsial tersebut kontinu di titik (r₀, θ₀).

Maka f diferensiabel di z₀ dengan f'(z₀) = e⁻ⁱᶿ·(uᵣ + ivᵣ) = [cos(θ₀) – i·sin(θ₀)]·[uᵣ(r₀, θ₀) + i·vᵣ(r₀, θ₀)]

5. Aturan Penurunan

Misalkan c adalah konstanta kompleks, dan f dan g adalah fungsi yang memiliki turunan:

• Turunan Konstanta

D_z(c) = 0

• Variabel Utama

D_z(z) = 1

• Perkalian Skalar

D_z[c·f(z)] = c·f'(z)

• Aturan Pangkat

D_z(zⁿ) = nzⁿ⁻¹, untuk n bilangan kompleks

• Aturan Penjumlahan

D_z[f(z) + g(z)] = f'(z) + g'(z)

• Aturan Pengurangan

D_z[f(z) – g(z)] = f'(z) – g'(z)

• Aturan Perkalian

D_z[f(z)·g(z)] = f'(z)·g(z) + f(z)·g'(z)

• Aturan Pembagian

D_z[f(z)/g(z)] = [f'(z)·g(z) – f(z)·g'(z)]/[g(z)]²

• Aturan Rantai

Misal F = g ∘ f, berlaku:

bisa juga dituliskan F'(z) = (g' ∘ f)(z) · f'(z).

Contoh Soal: Dengan rumus turunan, tentukan f'(z) dari f(z) = (2z + 5)⁶(1 – z)²⁰!

Misal:

u = (2z + 5)⁶  →  u' = 12(2z + 5)⁵ (aturan rantai)

v = (1 – z)²⁰  →  v' = –20(1 – z)¹⁹ (aturan rantai)

Dengan aturan perkalian f'(z) = u'v + uv':

f'(z) = [12(2z + 5)⁵][(1 – z)²⁰] + [(2z + 5)⁶][–20(1 – z)¹⁹]

f'(z) = 4(2z + 5)⁵(1 – z)¹⁹ [3(1 – z) – 5(2z + 5)] (faktorisasi)

f'(z) = 4(2z + 5)⁵(1 – z)¹⁹ [3 – 3z – 10z – 25]

f'(z) = 4(2z + 5)⁵(1 – z)¹⁹ [–13z – 22]

Hasil Akhir:

f'(z) = –4(13z + 22)(2z + 5)⁵(1 – z)¹⁹.