Sixty Four Science

1. Titik Limit Himpunan A . Definisi Titik Limit Misalkan A ⊆ ℝ, titik c ∈ ℝ dikatakan titik limit dari A jika untuk setiap persekitaran-δ V δ (c) = (c – δ, c + δ) dari c memuat sedikitnya satu titik anggota A yang berbeda dengan c. Dengan kata lain, c titik limit dari A jika dan hanya jika (∀δ > 0). V δ (c)∩A\{c} ≠ ∅ B . Kriteria Barisan untuk Titik Limit Bilangan c ∈ ℝ adalah titik limit dari A jika dan hanya jika terdapat barisan (aₙ) di dalam A dengan aₙ ≠ c untuk semua n ∈ ℕ sehingga lim(aₙ) = c. Bukti: (⇒) Jika c titik limit dari A maka untuk sebarang n ∈ ℕ, persekitaran-1/n V 1/n (c) memuat sedikitnya satu titik dari A yang berbeda dengan c. Jika aₙ adalah titik-titik yang demikian maka aₙ ∈ A, aₙ ≠ c dan lim(aₙ) = c. (⇐) Sebaliknya, jika terdapat barisan (aₙ) di dalam A\{c} dengan lim(aₙ) = c, maka untuk sebarang δ > 0 terdapat bilangan asli K(δ) sehingga untuk n ≥ K(δ) berlaku aₙ ∈ V δ (c). Jadi, untuk n ≥ K(δ) persekitaran-δ V δ (c) memuat titik-...

1. Barisan Divergen Sejati A . Definisi Barisan Divergen Sejati Misalkan (xₙ) adalah sebuah barisan bilangan real. (i) Kita katakan bahwa (xₙ) cenderung ke +∞, dan kita tulis lim(xₙ) = +∞, jika untuk setiap α ∈ ℝ terdapat sebuah bilangan asli K(α) sedemikian rupa sehingga jika n ≥ K(α), maka xₙ > α. Disimbolkan: (∀α ∈ ℝ)(∃K ∈ ℕ) ∋ n ≥ K ⇒ xₙ > α (ii) Kita katakan bahwa (xₙ) cenderung ke –∞, dan kita tulis lim(xₙ) = –∞, jika untuk setiap β ∈ ℝ terdapat sebuah bilangan asli K(β) sedemikian rupa sehingga jika n ≥ K(β), maka xₙ < β. Disimbolkan: (∀β ∈ ℝ)(∃K ∈ ℕ) ∋ n ≥ K ⇒ xₙ < β Kita katakan bahwa (xₙ) divergen sejati jika kita memiliki salah satu dari lim(xₙ) = +∞ atau lim(xₙ) = –∞. Sixtyfourians harus menyadari bahwa kita menggunakan simbol +∞ dan –∞ murni sebagai notasi yang mudah dalam ekspresi di atas. Hasil yang telah dibuktikan di pembahasan-pembahasan sebelumnya untuk limit konvensional lim(xₙ) = L (untuk L ∈ ℝ) mungkin tidak tetap benar ket...

1. Barisan Monoton A . Barisan Monoton Umum Definisi Misalkan X = (xₙ) adalah sebuah barisan bilangan real. Kita katakan bahwa X adalah naik (increasing) jika memenuhi pertidaksamaan: x₁ ≤ x₂ ≤ ... ≤ xₙ ≤ xₙ₊₁ ≤ ... Kita katakan bahwa X adalah turun (decreasing) jika memenuhi pertidaksamaan: x₁ ≥ x₂ ≥ ... ≥ xₙ ≥ xₙ₊₁ ≥ ... Kita katakan bahwa X adalah monoton (monotone) jika X adalah naik atau turun. B . Barisan Monoton Tegas Definisi Misalkan X = (xₙ) adalah sebuah barisan bilangan real. Kita katakan bahwa X adalah naik tegas (strictly increasing) jika memenuhi pertidaksamaan: x₁ < x₂ < ... < xₙ < xₙ₊₁ < ... Kita katakan bahwa X adalah turun tegas (strictly decreasing) jika memenuhi pertidaksamaan: x₁ > x₂ > ... > xₙ > xₙ₊₁ > ... Kita katakan bahwa X adalah monoton tegas (strictly monotone) jika X adalah naik tegas atau turun tegas. Yang membedakan barisan monoton tegas dengan barisan monoton biasa adalah bahwa tanda pertidaksamaan barisan monoton tegas ad...

1. Barisan Bilangan Real A . Definisi Barisan Barisan bilangan real adalah fungsi yang memetakan dari ℕ (himpunan bilangan asli) ke ℝ (himpunan bilangan real). Dengan kata lain, barisan bilangan real adalah pengaitan setiap n ∈ ℕ dengan tunggal bilangan real. Bilangan real yang dihasilkan disebut suku dari barisan, untuk barisan X biasa dituliskan suku ke-n sebagai xₙ. Secara umum, jika X: ℕ → ℝ suatu barisan, nilai X di n akan dinotasikan dengan xₙ. Sedangkan barisan dinotasikan X, (xₙ), atau (xₙ : n ∈ ℕ). B . Operasi Aljabar Barisan Misal X = (xₙ) dan Y = (yₙ) barisan bilangan real, didefinisikan operasi aljabar berikut: (i) Penjumlahan barisan X + Y = (xₙ + yₙ) (ii) Pengurangan barisan X – Y = (xₙ – yₙ) (iii) Perkalian barisan XY = (xₙyₙ) (iv) Perkalian skalar dengan barisan cX = (cxₙ) (v) Pembagian barisan X/Y = (xₙ/yₙ); dengan yₙ ≠ 0 2. Limit Barisan A . Definisi Limit Barisan Sebuah barisan X = (xₙ) di ℝ dikatakan konvergen ke x ∈ ...